L.M.P.A
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées
Joseph Liouville

Sur la modélisation du transport réactif dans les réserves d’eaux potables

Sujet

Cette thèse est consacrée à l’étude du transport réactif dans les réserves en eaux. Elle est structurée en deux parties distinctes : la première porte sur l’élaboration de solveurs chimiques et la seconde sur l’étude mathématique d’une classe de modèles décrivant des écoulements en eaux peu profondes en interaction avec les eaux de surface.Dans la première partie du travail, on s’intéresse à la résolution numérique des équilibres thermodynamiques qui conduisent à des systèmes non linéaires complexes et très mal conditionnés. Dans ce travail, on combine une formulation particulière du système d’équilibre chimique, appelée la méthode des fractions continues positives, avec deux méthodes numériques itératives, la méthode d’Accélération d’Anderson et des méthodes d’extrapolation vectorielle, à savoir les méthodes MPE (minimal polynomial extrapolation) et RRE (reduced rank extrapolation). Le principal avantage de ces approches est d’éviter de former la matrice jacobienne et donc d’éviter les problèmes liés aux mauvais conditionnements de la matrice. Des tests numériques sont faits, notamment sur le cas test de l’acide gallique et sur le cas test 1D de référence du benchmark MoMas. Ces essais illustrent la grande efficacité de cette approche par rapport aux résolutions classiques résultant de la méthode de Newton-Raphson. Dans la seconde partie de la thèse, on introduit et étudie des modèles de type Richards-Dupuit pour décrire les écoulements dans des aquifères peu profonds. L’idée est de coupler les deux types d’écoulements principaux présents dans l’aquifère : celui de la partie insaturée avec celui de la partie saturée. Le premier est décrit par le problème classique de Richards dans la frange capillaire supérieure.Le second résulte de l’approximation de Dupuit après intégration verticale des lois de conservation entre le fond de l’aquifère et l’interface de saturation. Le modèle final consiste en un système fortement couplé d’edp de type parabolique qui sont définies sur un domaine dépendant du temps. Nous montrons comment la prise en compte de la faible compressibilité du fluide permet d’éliminer la dégénérescence présente dans la dérivée temporelle de l’équation de Richards. Puis nous utilisons le cadre général des équations paraboliques dans des domaines non cylindriques introduit par Lions pour donner un résultat d’existence global en temps. Nous présentons l’analyse mathématique du premier modèle qui correspond au cas isotrope et non conservatif. Puis nous généralisons l’étude au cas anisotrope et conservatif.

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