L.M.P.A
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées
Joseph Liouville

Méthodes de sous-espaces de Krylov rationnellespour le contrôle et la réduction de modèles

Sujet

Beaucoup de phénomènes physiques sont modélisés par des équations aux dérivées partielles, la discrétisation de ces équations conduit souvent à des systèmes dynamiques (continus ou discrets) dépendant d'un vecteur de contrôle dont le choix permet de stabiliser le système dynamique. Comme ces problèmes sont, dans la pratique, de grandes tailles, il est intéressant de les étudier via un autre problème dérivé réduit et plus proche du modèle initial. Dans cette thèse, on introduit et on étudie de nouvelles méthodes basées sur les processus de type Krylov rationnel afin d'extraire un modèle réduit proche du modèle original. Des applications numériques seront faites à partir de problèmes pratiques. Après un premier chapitre consacré au rappel de quelques outils mathématiques, on s'intéresse aux méthodes basées sur le processus d'Arnoldi rationnel par blocs pour réduire la taille d'un système dynamique de type Multi-Input/Multi-Output (MIMO). On propose une sélection adaptative de choix de certains paramètres qui sont cruciaux pour l'efficacité de la méthode. On introduit aussi un nouvel algorithme adaptatif de type Arnoldi rationnel par blocs afin de fournir une nouvelle relation de type Arnoldi. Dans la deuxième partie de ce travail, on introduit la méthode d'Arnoldi rationnelle globale, comme alternative de la méthode d'Arnoldi rationnel par blocs. On définit la projection au sens global, et on applique cette méthode pour approcher les fonctions de transfert. Dans la troisième partie, on s'intéresse à la méthode d'Arnoldi étendue (qui est un cas particulier de la méthode d'Arnoldi rationnelle) dans les deux cas (global et par blocs), on donnera quelques nouvelles propriétés algébriques qui sont appliquées aux problèmes des moments. On consièdère dans la quatrième partie la méthode de troncature balancée pour la réduction de modèle. Ce procédé consiste à résoudre deux grandes équations algébriques de Lyapunov lorsque le système est stable ou à résoudre deux équations de Riccati lorsque le système est instable. Comme ces équations sont de grandes tailles, on va appliquer la méthode de Krylov rationnel par blocs pour approcher la solution de ces équations. Le travail de cette thèse sera cloturé par une nouvelle idée, dans laquelle on définit un nouvel espace sous le nom de sous-espace de Krylov rationnelle étendue qui sera utilisée pour la réduction du modèle.

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