Groupe de travail d’Algèbre

Le groupe de travail d’algèbre réunit les membres de l’équipe d’Algèbre (et toutes personnes interessées) tous les jeudi après-midi.

C’est pour nous l’occasion d’exposer sur nos thèmes de recherche, d’écouter des exposés d’invités au LMPA ou de travailler sur un sujet commun (livre, article).

Prochain evénement

Groupe de travail d’Algèbre du 10 mai

Evénements passés

• Groupe de travail d’Algèbre du 5 avril

  Pierre Gillibert ()

  
  

  Le problème de l’ordre dans les groupes d’automates

  Un automate de Mealy M (ou encore un transducteur lettre à lettre) est un automate fini muni de fonctions de production. En fixant un état comme état initial l’automate induit un endomorphisme de l’arbre des mots. Le semi-groupe engendré par M est le semi-groupe engendré par tous ces endomorphismes. Si les fonctions de production sont bijectives alors les endomorphismes induits sont des automorphismes. On considère alors le groupe d’automate engendré par ces automorphismes.

  Alesin, en utilisant un groupe d’automate, donna une construction simple d’un groupe infini, finiment engendré et dont tout élément est d’ordre fini, aussi appelé groupe de Burnside. Grigorchuk a trouvé un groupe d’automate qui est de Burnside, moyennable, non élémentairement moyennable et de croissance intermédiaire. Ce qui résout le problème de Milnor et le problème de Day.

  Le problème du mot et résoluble dans tout groupe d’automate (réduction de Eilenberg). Par contre Sunic et Ventura (2012) on construit un groupe d’automate dont le problème conjugaison est indécidable.

  A partir d’une machine de Turing on peut construire un groupe d’automate qui simule la machine de Turing. Plus précisément pour toute configuration de la machine de Turing, on peut construire explicitement un élément du groupe tel que la machine de s’arrête si et seulement l’élément est d’ordre fini. En particulier si la machine de Turing est universelle, le problème de finitude de l’ordre d’un élément est indécidable.

  Informations : 13:30 - 13:30

• Groupe de travail d’Algèbre du 29 mars

  Youssef Fares (LAMFA - Amiens)

  
  

  Suites arithmétiques dans l’ensemble des points périodiques d’un polynôme quadratique.

  Informations : 13:00 - 14:30

• Groupe de travail d’Algèbre du 15 mars

  Laurent Demonet (Nagoya, Japon)

  
  

  Treillis des classes de torsion

  Nous considérons le treillis tors A des classes de torsion sur une algèbre de dimension finie A. Celui-ci est en général infini. Cependant, nous prouvons qu’il a des propriétés suffisantes (bialgébricité, semidistributivité complète, congruence uniformité complète) pour être compris grâce à son carquois de Hasse, dont nous donnons une interprétation en termes de modules. En particulier, certaines congruences de ce treillis sont paramétrées par des ensembles de modules ayant certaines propriétés. De plus, pour un idéal I de A, il y a un quotient de treillis tors A -> tors (A/I) envoyant une classe de torsion T sur son intersection avec mod A/I. Nous décrivons ce type de quotient en détail en utilisant les techniques précédentes.
  Nous donnerons plusieurs exemples, en particulier le calcul de tors B quand B est une algèbre de graphe de Brauer. Une autre source d’exemples provient des algèbres préprojectives associées à des groupes de Weyl.

  Informations : 13:30 - 14:30

• Groupe de travail d’Algèbre du 22 février

  Patrick Dehonoy (LMNO-Caen)

  
  

  Réduction des multifractions pour les groupes d’Artin-Tits

  Un résultat classique de O. Ore affirme que, si M est un monoïde simplifiable dans lequel deux éléments quelconques admettent un plus petit commun multiple, alors tout élément du groupe enveloppant U(M) de M peut être représenté de façon unique comme une fraction irréductible sur M. On étend ce résultat en affaiblissant la condition sur l’existence des multiples communs, au prix de considérer des sortes de fractions itérées ("multifractions"). Lorsque le monoïde de base M admet une famille de Garside finie, ceci mène à un algorithme d’un type nouveau (mais reminiscent de l’algorithme de Dehn pour les groupes hyperboliques) pour le problème de mot du groupe U(M). Cette méthode est en défaut pour certains monoïdes, mais on conjecture qu’elle s’applique à tous les monoïdes d’Artin-Tits.

  Informations : 15:00 - 16:00

• Groupe de travail d’Algèbre du 22 février

  Eirini Chavli (Stuttgart, Allemagne)

  
  

  Sur les conjectures de BΜR

  De 1994 à 1998, M. Broué, G. Malle, et R. Rouquier ont généralisé de manière naturelle la définition de l’algèbre de Iwahori-Hecke à un groupe de réflexions complexe quelconque. En tentant de généraliser les propriétés dans le cas des groupes de Coxeter finis, ils ont formulé quelques conjectures concernant ces algèbres de Hecke généralisées, qui s’appellent algèbres de Hecke génériques, dont certaines n’ont pas encore été prouvées en toute généralité. Dans cette exposé je vais expliquer la conjecture de liberté et la conjecture symétrique et je vais donner des nouveux resultats concernant la seconde (travail commun avec C. Boura, M. Chlouveraki et K. Karvounis).

  Informations : 13:30 - 14:30

• Groupe de travail d’Algèbre du 25 janvier

  Pierre-Louis Giscard (University of York)

  
  

  L’extension de la théorie des nombres aux chemins sur les graphes

  Dans cet exposé nous démontrerons que les chemins sur les graphes obéissent à l’extension semi-commutative de la théorie des nombres ; complète avec ses éléments premiers, ses fonctions fondamentales (zêta, Möbius, von Mangoldt, Liouville …) et même une pléthore de relations entre objets combinatoires en extension directe de relations célèbres de la théorie des nombres. Nous montrerons que ce cadre donne une nouvelle lumière sur un vieux problème de combinatoire énumérative concernant les polygones auto-évitants sur les réseaux du plan et fournit un riche terreau de structures (bi)algèbriques, dont certaines sont encore incomprises au niveau le plus fondamental. Nous mentionnerons les applications que cette « théorie des chemins » a déjà trouvé en algèbre linéaire, calcul différentiel, théorie des noeuds, théorie spectrale des graphes, inférence statistique, dynamique quantique, analyse des réseaux, apprentissage automatique et algorithmique.

  Informations : 13:30 - 14:30 C116

• Groupe de travail d’Algèbre du 18 janvier

  Jean Fromentin (ULCO-LMPA)

  
  

  Polynôme de Jones modulaire

  Informations : 13:30 - 14:30 C116

• Groupe de travail d’Algèbre du 11 janvier

  Cyrille Chenavier (UPEM)

  
  

  Opérateurs de réduction et complétion des systèmes de réécriture linéaires

  En réécriture, la confluence est une propriété garantissant que lorsque deux réductions sont issues d’un même terme, celles-ci confluent vers un terme commun. Dans cet exposé, on s’intéresse à la propriété de confluence de systèmes de réécriture linéaires décrits par des opérateurs de réduction. Cette description permet d’interpréter en termes de treillis les obstructions à la confluence. On en déduit des formulations de la confluence et de la complétion, ainsi qu’une méthode de complétion des systèmes de réécriture linéaires en termes de treillis. On présentera également comment exploiter cette approche pour étudier des problèmes de nature constructive en algèbre de dimension supérieure (algèbre homologique et opérades).

  Informations : 13:30 - 14:30 C116

• Groupe de travail d’Algèbre du 21 décembre 2017

  Thomas Gobet (Nancy - Institut Elie Cartan)

  
  

  Tresses simples duales et éléments c-triables

  Nous donnons une formule pour exprimer les éléments simples du monoïde de tresses de Birman-Ko-Lee (ou monoïde de tresses dual) au moyen des générateurs classiques du groupe de tresses à n brins. Ces éléments sont en bijections avec les partitions non croisées de l’ensemble des entiers de 1 à n. Cette formule se généralise aux monoïdes de tresses duaux des groupes d’Artin-Tits associés aux groupes de Coxeter finis, et fait intervenir les éléments c-triables de Reading, où c est l’élément de Coxeter standard définissant le monoïde dual. Les éléments c-triables sont des objets combinatoires introduits à l’origine pour construire des bijections entre les partitions non croisées et les clusters.

  Notre formule a pour conséquence immédiate que les tresses simples duales sont des tresses Mikado. Les démonstrations connues de ce dernier résultat, conjecturé dans un travail en commun avec Digne, nécessitent des réalisations topologiques des groupes d’Artin-Tits (comme expliqué dans des travaux en communs avec Digne et Baumeister) ou des catégorifications de ces derniers (comme expliqué, en types A,D et E, par les travaux récents de Licata et Queffelec). Les preuves que nous présentons ici sont entièrement combinatoires, et nous développons une approche permettant de réduire une preuve uniforme (i.e., ne reposant pas sur la classification des groupes de Coxeter finis) de la formule en question à la preuve d’un lemme concernant les ensembles d’inversions d’éléments c-triables, que nous démontrons au cas par cas.

  Informations : 13:30 - 14:30 C116

• Groupe de travail d’Algèbre du 14 décembre 2017

  Baptiste Rognerud (Strasbourg - IRMA)

  
  

  Autour de la matrice de Coxeter de certains ensembles ordonnés.

  On peut associer, de façon élémentaire,une matrice à chaque ensemble ordonné fini.
  On l’appelle la matrice de Coxeter de l’ensemble ordonné. Deux questions naturelles se posent alors :
  sous quelle condition cette matrice est-elle d’ordre fini et sous quelles conditions les matrices de Coxeter
  de deux ensembles ordonnés sont-elles conjuguées ?

  Informations : 13:30 - 14:30 C116