Séminaire équipe ADA

Le séminaire de l'équipe Algèbre, Dynamique et Arithmétique à lieu en principe les jeudis à 14h30.

Responsables : Nathan Chapelier, Lucile Devin et Pierre-Louis Giscard

Liste des exposés de 2024

• Jeudi 12 décembre 2024

  Antoine Benoit (Université du Littoral côte d'Opale)

  EDP et régularité (⊕ résumé)

  Dans cet exposé j'introduirai une question qui est au cœur de ma recherche, celle de savoir si la régularité des données d'une équation aux dérivées partielles se transmet à sa solution. En nous basant sur des exemples explicites, nous verrons que la réponse à cette question est loin d'être immédiate. Cependant elle n'en demeure pas moins incontournable pour réussir à traiter des équations non linéaires, assez complexes pour modéliser de vrais phénomènes physiques de façon réaliste.

  14:30 - 15:30 Amphi C002

• Mercerdi 4 décembre 2024

  Séminaire Kent-Littoral: Andy Hone // Nathan Chapelier (University of Kent // ULCO)

  Heron triangles and the hunt for unicorns // Atomic length and core partitions (⊕ résumé)

  Andy Hone (University of Kent)

  Title: Heron triangles and the hunt for unicorns Abstract: A Heron triangle is one that has all integer side lengths and integer area, which takes its name from Heron of Alexandria's area formula. From a more relaxed point of view, if rescaling is allowed, then one can define a Heron triangle to be one whose side lengths and area are all rational numbers. A perfect triangle is a Heron triangle with all three medians being rational. According to a longstanding conjecture, no such triangle exists, so perfect triangles are as rare as unicorns. However, if perfect is the enemy of good, then perhaps it is best to insist on only two of the medians being rational. Buchholz and Rathbun found an infinite family of Heron triangles with two rational medians, which they were able to associate with the set of rational points on an elliptic curve E(Q). Here we describe a recently discovered explicit formula for the sides, area and medians of these (almost perfect) triangles, expressed in terms of a pair of integer sequences: these are Somos sequences, which first became known thanks to popular articles by David Gale.

  Nathan Chapelier (ULCO)

  Title: Atomic length and core partitions Abstract : In this talk, I will introduce a new statistic on Weyl groups of Kac–Moody algebras. We will see how this function generalizes the usual length function, and then we will explore certain consequences in number theory, notably the parametrization of solutions to Pell–Fermat equations via generalized cores.

  15:40 - 17:40

• Jeudi 28 novembre 2024

  Clément Chenevière (Université Paris-Saclay)

  Une nouvelle description des treillis m-cambriens (⊕ résumé)

  Les treillis cambriens, introduits par N. Reading en 2006, sont une généralisation du treillis de Tamari, à tout choix d'élément de Coxeter, dans tout groupe de Coxeter fini. Le treillis de Tamari correspond au 'type A linéaire'. Ces ordres partiels admettent plusieurs descriptions, non trivialement équivalentes. Celles-ci donnent lieu à une généralisation commune, comme définie par C. Stump, H. Thomas et N. Williams. Toutefois, aucune de ces descriptions ne fournit de modèle combinatoire pratique.

  Dans un travail en cours avec Wenjie Fang et Corentin Henriet, nous proposons une nouvelle définition équivalente des treillis m-cambriens. Nous donnons un critère de comparaison simple et effectif sur des objets simples appelés m-partitions non croisées. Cette définition est obtenue en montrant qu'il existe une unique chaîne c-croissante entre n'importe quelle paire d'éléments comparables, et cette dernière est calculée par un algorithme glouton. Ce faisant, nous introduisons un ordre partiel intéressant sur les intervalles d'un treillis cambriens, qui est nouveau, même pour le cas du treillis de Tamari.

  14:30 - 15:30 Salle C115

• Jeudi 14 novembre 2024

  Benjamin Dequêne (Université d'Amiens)

  Une nouvelle famille de bijections entre les partitions non-croisées et les partitions non-imbriquées (⊕ résumé)

  Associé à un groupe de Weyl, il y a deux ensembles d’objets combinatoires, comptés par les nombres de Catalan généralisés, qui s’appellent les partitions non-croisées et les partitions non-imbriquées. Ces objets ont des liens très intéressants avec la théorie des représentations d’algèbres : pour ne citer qu’un résultat, par exemple, les partitions non-croisées sont en bijection avec les sous-catégories wide de la catégorie des modules sur des algèbres héréditaires de type finie. La question d’une relation exacte entre ces deux objets n’admet que des réponses partielles. Récemment, nous avons mis en lumière des liens supplémentaires, renforçant certains liens déjà connus, dans le cas du groupe symétrique : pour tout élément de Coxeter standard, nous construisons une bijection équivariante entre les partitions non-croisées sous l’action du complément de Kreweras et les partitions non-imbriquées sous une action cyclique particulière, que nous appelons le complément de Kroweras. Cette bijection équivariante, construite à partir de règles locales, est l’unique bijection qui est à la fois équivariante et qui préserve le support. Dans cet exposé, je vais tenter de faire le tour de tous les ingrédients nécessaires, en exposant des aspects davantage tirés vers la théorie des représentations, afin d’aboutir à la construction de cette bijection. Ces travaux sont en collaboration avec Gabriel Frieden, Alessandro Iraci, Florian Schreier-Aigner, Hugh Thomas et Nathan Williams.

  14:30 - 15:30 Salle C105

• Jeudi 7 novembre 2024

  Habiba Kadiri (University of Lethbridge)

  Un état des lieux (non-exhaustif) de la théorie explicite des nombres (⊕ résumé)

  Cette présentation proposera un aperçu de résultats explicites en théorie des nombres, en commençant par série de théorèmes sur les zéros de la fonction zêta de Riemann et le terme d'erreur dans le théorème des nombres premiers établis par Rosser et Schoenfeld entre 1939 et 1976. L'essor des outils computationnels nous a permis de vérifier partiellement des conjectures, telles que l'Hypothèse de Riemann, et de préciser ou même d'établir des conjectures. C’est le cas de la version faible de la Conjecture de Goldbach auparavant connue pour être vraie asymptotiquement. Les résultats explicites mesurent quantitativement l'état de notre compréhension et l'efficacité de nos techniques. Leur nature permet également une large gamme d'applications en approximation diophantienne, en arithmétique, en cryptographie et dans d'autres domaines des mathématiques. Il y a depuis quelques années une augmentation exponentielle du nombre de résultats de nature explicite, avec diverses « écoles » présentes essentiellement à travers le Canada, les États-Unis, l'Europe et l'Australie, et avec divers objets d'étude, allant des nombres premiers et zéros de la fonction zêta de Riemann, aux progressions arithmétiques et aux fonctions L de Dirichlet, ainsi qu'aux nombres premiers dans les corps de nombres et aux fonctions L de Hecke ou zêta de Dedekind.

  14:30 - 15:30 Salle C115

• Jeudi 24 octobre 2024

  Martin Desombre (Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville)

  Propriétés de la transformée de Fourier sur le groupe symétrique (⊕ résumé)

  Dans cet exposé je présenterai un problème d'optimisation combinatoire d'un réacteur nucléaire. J'introduirai la transformée de Fourier sur un groupe fini comme moyen de traiter ce problème, et je développerai le cas du groupe symétrique. J'introduirai également le modèle 'jouet' du problème des 'n reines' pour illustrer des résultats de transfert de propriétés entre une fonction du groupe symétrique et ses transformées de Fourier.

  14:30 - 15:30 Salle C115

• Jeudi 10 octobre 2024

  Igor Haladjian (Institut Denis Poisson, Université de Tours)

  Introduction aux J-groupes de réflexions (⊕ résumé)

  Après un rappel sur la théorie des groupes de réflexions réels et des groupes de Coxeter, j'expliquerai en quoi les J-groupes de réflexions peuvent jouer en un sens un rôle similaire pour les groupes de réflexions complexes de rang 2.

  14:30 - 15:30 Salle C115

• Mercerdi 2 octobre 2024

  Dominique Manchon (Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal, CNRS et Université Clermont-Auvergne)

  Post-groupes, algèbres post-Lie et géométrie différentielle (⊕ résumé)

  Je présenterai la notion récente de post-groupe, dûe à Bai, Guo, Sheng et Tang, ainsi qu'une version faible dûe à S. Wang. Après avoir rappelé les liens étroits entre les post-groupes, les skew-braces et les groupes tressés, et après avoir montré comment l'algèbre de Lie d'un post-groupe de Lie est une algèbre post-Lie, je présenterai un post-groupe faible dont l'algèbre de Lie est l'algèbre post-Lie liée aux travaux de Munthe-Kaas et Wright en 2008. Je terminerai par un résultat sur les post-groupes libres. Travail commun avec Mahdi Al-Kaabi et Kurusch Ebrahimi-Fard (J. Geom. Phys. 2024).

  https://arxiv.org/abs/2306.08284

  14:00 - 15:00 Salle C116

• Jeudi 26 septembre 2024

  Nathan Chapelier (Université du Littoral côte d'Opale)

  Longueur atomique dans les groupes de Weyl (⊕ résumé)

  Dans cet exposé j'introduirai une nouvelle fonction de longueur dans les groupes de Weyl d'algèbres de Kac-Moody. Nous verrons comment cette fonction généralise la fonction de longueur usuelle puis nous verrons certaines conséquences en théorie des nombres, notamment la paramétrisation des solutions d'équations de Pell-Fermat via les cœurs généralisés.

  15:30 - 16:30 Salle C201

• Jeudi 19 septembre 2024

  Ade Irma Suriajaya (Chacha) (Kyushu University)

  Counting Goldbach Representations and Its Relation to Zeta Zeros (⊕ résumé)

  The Goldbach conjecture asks if we can always write an even number greater than or equal to 4, as a sum of two prime numbers. This will imply that all integers at least 6 can be written as a sum of three primes. The latter for odd integers ≥ 7 is a weaker conjecture and has recently been proven by Harald Helfgott. The even number case remains unsolved. We introduce the conjecture in a quantitative form due to G.H. Hardy and J.E. Littlewood in 1919 (with details published in 1923). A weaker version of this conjecture implies the non-existence of exceptional zeros” of certain L-functions. This is joint work with John B. Friedlander, Daniel A. Goldston and Henryk Iwaniec. We also introduce the notion of non-vanishing regions of the Riemann zeta function and its connection to the prime number theorem. The analogue for Dirichlet L-functions also holds except for a possible real zero which we call anexceptional zero”.

  Counting the number of Goldbach representations itself is difficult, and taking its average tells us a bit more information. In fact, the asymptotic formula for the average number of Goldbach representations is very closely related to the quantitative form of the Prime Number Theorem (PNT) and the error is determined by a non-vanishing region of the Riemann zeta-function. This is obtained in the student project with Keith Billington and Maddie Cheng from San Jose State University, together with Jordan Schettler.

  14:30 - 15:30 C201

• Jeudi 20 juin 2024

  Mélodie Andrieu (LMPA)

  Un nouveau pont entre combinatoire des mots et théorie des nombres (⊕ résumé)

  Dans cet exposé (basé sur un travail commun avec Léo Vivion), je parlerai d'une classe de mots infinis centrale en combinatoire des mots : les mots Sturmiens, et de son lien avec deux systèmes de représentation des nombres réels : la fraction continue et le développement en base.

  14:30 - 15:30 C115

• Jeudi 6 juin 2024

  June Roupin (Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge -- Université Gustave Eiffel)

  Forme normale alternante dans le monoïde de tresse : régularité, caractérisation locale et automaticité

  14:30 - 15:30 C201

• Jeudi 30 mai 2024

  Adrien Mounier (Aix-Marseille Université (AMU))

  Un crible minorant pour les entiers friables (⊕ résumé)

  Soient A un ensemble fini d'entiers naturels non-nuls et y ≥ 1. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l'ensemble {n∈A ; p|n => p ≤ y} sous la condition d'une bonne connaissance du niveau de répartition de l'ensemble A. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires irréductibles à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

  14:30 - 15:30 Amphi C002

• Jeudi 23 mai 2024

  Markus Whiteland (Université de Liège)

  What can we say about infinite words by just counting? (⊕ résumé)

  Understanding symbolic dynamical systems through their combinatorial structure is a well-developed area of research. Starting from Morse and Hedlund's 1938 seminal work---where aperidodic infinite words where characterised via the so-called factor complexity function---a bunch of other complexity functions have been introduced and studied. The theme of the talk is about recovering information about infinite words by counting blocks (up to similarities) appearing in them. We will explore several complexity functions from this point of view, mainly focusing on the fairly recently introduced family of binomial complexity functions, which count the number of blocks of a fixed length appearing in an infinite word up to a similar subword structure.

  The talk is mainly based on joint work with M. Rigo and M. Stipulanti: Characterizations of families of morphisms and words via binomial complexities, European Journal of Combinatorics 118 (2024), https://doi.org/10.1016/j.ejc.2024.103932

  14:30 - 15:30 C201

• Jeudi 2 mai 2024

  Chantal David (Concordia University, Montréal)

  La distribution des sommes de Gauss. (⊕ résumé)

  Les sommes de Gauss sont des objets fondamentaux de la théorie des nombres. Les sommes de Gauss ont été étudiées par Gauss, qui, après de nombreuses tentatives, a donné une formule simple dépendant uniquement de l'argument des sommes de Gauss modulo 4. Les sommes de Gauss de degré supérieur semblent se comporter différemment. En se basant sur des données numériques, Kummer (1846) a suggéré que les angles des sommes de Gauss cubiques aux arguments premiers ne sont pas équidistribués, et présentent un biais vers les valeurs positives. Des tests numériques plus étendus semblent indiquer que ce biais ne persiste pas et que les sommes de Gauss cubiques sont équidistribuées, ce qui a été prouvé par Heath-Brown et Patterson (1979). Nous expliquerons dans cet exposé ce qu'implique la démonstration de l'équidistribution des sommes cubiques de Gauss, en particulier pourquoi il a fallu plus de 130 ans après les observations de Kummer pour résoudre cette question. L'exposé sera accessible à un public mathématique général, y compris aux étudiants.

  14:30 - 15:30 B014

• Jeudi 18 avril 2024

  Gregory Debruyne (Ghent University)

  The Ingham-Karamata Tauberian theorem (⊕ résumé)

  The Ingham-Karamata theorem is a cornerstone in Tauberian theory: It retrieves asymptotic information of a function from a regularity hypothesis on the function and from information about its Laplace transform. I will explain how it yields a proof of the prime number theorem (assuming the knowledge that the zeta function does not have a zero on the line Re s = 1) and discuss some recent work I have done on quantified versions of the Ingham-Karamata theorem.

  14:30 - 15:30 B014

• Jeudi 11 avril 2024

  Samuele Giraudo (Université du Québec à Montréal)

  Algèbres de Hopf naturelles d'opérades et leur réalisation polynomiale (⊕ résumé)

  Une réalisation polynomiale d'une algèbre de Hopf combinatoire est une traduction de ses éléments en des polynômes non commutatifs en une infinité de variables. Dans une telle réalisation, le produit de l'algèbre doit se traduire en celui des polynômes et le coproduit de la cogèbre doit se décrire par un doublement d'alphabet. Beaucoup d'algèbres de Hopf combinatoires admettent de telles réalisations. Parmi celles-ci figurent entre autres l'algèbre de Hopf de Malvenuto-Reutenauer [Duchamp, Hivert, Thibon, 2002], l'algèbre de Hopf de Loday-Ronco [Hivert, Novelli, Thibon, 2005] et l'algèbre de Hopf de Connes-Kreimer [Foissy, Novelli, Thibon, 2014]. À côté de tout cela, il existe une construction introduite par Méndez qui produit une algèbre de Hopf à partir d'une opérade non symétrique, appelée algèbre de Hopf naturelle de ladite opérade. Nous proposons ici une réalisation polynomiale de certaines de ces algèbres de Hopf à l'aide d'alphabets de variables munis de relations.

  14:30 - 15:30 Zoom

• Jeudi 28 mars 2024

  Laurent Loosveldt (Université de Liège)

  Méthodes d'ondelettes pour l'étude de processus chaotiques (⊕ résumé)

  L'objectif de cet exposé est de convaincre l'audience de la richesse de l'outil ``ondelettes'' pour étudier les processus stochastiques définis dans des chaos de Wiener. Pour ce faire, nous nous intéresserons plus particulièrement aux processus d'Hermite.

  L'exposé commencera par une présentation de la théorie des chaos de Wiener et quelques outils associés (calcul de Malliavin, théorème central limite,...) et de la théorie des bases orthonormées d'ondelettes. Cela étant fait, nous expliciterons divers résultats d'approximation, estimation statistique et étude fine de la régularité ponctuelle.

  Cet exposé est basé sur divers travaux conjoints avec Céline Esser de l'Université de Liège, Antoine Ayache, Julien Hamonier et Ciprian A. Tudor de l'Université de Lille.

  14:30 - 15:30 B014

• Jeudi 21 mars 2024

  Bastian Espinoza (Université de Liège)

  The stabilized automorphism group of low complexity subshifts (⊕ résumé)

  The study of the automorphism group (i.e., the group of symmetries) of a dynamical system is a classical topic in the field. A fundamental question is to determine when two given systems have the same automorphism group. Even for well-understood classes of systems (e.g. finite type subshifts) this problem is largely open. Motivated by this, the 'stabilized automorphism group' has been introduced, and it has been proved that in the case of certain finite type subshifts it is a complete invariant for the topological entropy, which is something whose non-stabilized counterpart remains open. In this talk, I will explore the stabilized automorphism group in the case of minimal systems and show that it is intrinsically related to the rational spectrum of the system.

  14:30 - 15:30 B014

• Jeudi 29 février 2024

  Federico Campanini (IRMP UC Louvain)

  Théories de torsion et prétorsion (⊕ résumé)

  Les théories de prétorsion sont définies comme des 'théories de torsion non pointées', où l'objet zéro et les morphismes nuls sont remplacés, respectivement, par une classe d'objets 'triviaux' et un idéal approprié de morphismes. Les théories de prétorsion ont été introduites par Facchini et Finocchiaro en 2020 et apparaissent naturellement dans plusieurs contextes différents en mathématiques, tels que les espaces topologiques et les groupes topologiques, les préordres internes, les catégories, les groupes préordonnés, les V-groupes, les quandles, etc.

  Le but de cet exposé est de donner une vue d'ensemble des théories de torsion et de prétorsion, introduisant les notions et propriétés clés, et discutant différents exemples dans plusieurs contextes différents.

  Basé sur des travaux conjoints avec F. Borceux, M. Gran, W. Tholen [1, 2] et F. Fedele [3].

  [1] F. Borceux, F. Campanini and M. Gran, Pretorsion theories in lextensive categories, to appear on Israel J. Math (2023). https://arxiv.org/abs/2205.11054

  [2] F. Borceux, F. Campanini, M. Gran and W. Tholen, Groupoids and skeletal categories form a pretorsion theory in Cat, Adv. Math 426 (2023) 109110. https://doi.org/10.1016/j.aim.2023.109110

  [3] F. Campanini, F. Fedele, Building pretorsion theories from torsion theories, submitted (2023). https://arxiv.org/abs/2310.00316

  [4] A. Facchini, C.A. Finocchiaro and M. Gran, Pretorsion theories in general categories, J. Pure Appl. Algebra 225 (2) (2021) 106503.

  14:30 - 15:30 B014

• Jeudi 22 février 2024

  Anthony Poëls (Institut Camille Jordan - Lyon 1)

  Approximation polynomiale uniforme (⊕ résumé)

  Donnés un nombre réel ξ et un entier n, l'approximation polynomiale consiste à trouver des polynômes non nuls P, à coefficients entiers et de degré au plus n, tels que |P(ξ )| soit petit en comparaison de la taille des coefficients de P. Il est possible d'associer à ξ et n un exposant mesurant la qualité de ces approximations. Le Théorème de Dirichlet assure qu'il est au moins égal à n. En 1969, Davenport et Schmidt ont montré qu'il ne pouvait pas excéder 2n-1. La meilleure borne actuelle est de la forme 2n-2 (pour n assez grand). Dans cet exposé, je m'attarderai dans un premier temps sur les aspects historiques du problème, notamment des liens qu'il entretient avec celui de l'approximation de ξ par des nombres algébriques de degré au plus n, et sur la preuve de Davenport et Schmidt. Dans un second temps, je parlerai de travaux récents conduisant à une amélioration de la majoration 2n-2.

  14:30 - 15:30 C115

• Jeudi 15 février 2024

  Vincent Gozé (ULCO - LMPA)

  Le théorème des nombres premiers (⊕ résumé)

  Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers compris dans l’intervalle $[1, x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ? La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: $\pi(x)\simeq \frac{x}{\log x}$. La démonstration de Hadamard et de la Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l'analyse complexe. Ce n'est qu'en 1949 qu'Erd\H{o}s et Selberg démontrèrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l'analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique de la preuve du théorème des nombres premiers ainsi que les différentes idées de démonstrations, en particulier les preuves élémentaires.

  14:30 - 15:30 B014

• Jeudi 8 février 2024

  Yohan Hosten (ULCO - LMPA)

  Somme des chiffres, théorème central limite et odomètre b-adique (⊕ résumé)

  Pour un entier $b\geq2$ fixé, on s'intéresse à la variation de la fonction \emph{somme-des-chiffres} (en base $b$), notée $s$. Plus précisément, pour un entier $r \in \mathbb N$, on considère la fonction, définie sur $\mathbb N$, $\Delta^{(r)}(n):=s(n+r)−s(n)$ et aux propriétés asymptotiques de celle-ci. Ces propriétés sont bien définies sur le groupe des entiers $b$-adiques. On se proposera de construire un espace de probabilités à partir de ce groupe et du système dynamique de l'odomètre. Ce sera l'occasion d'y introduire la notion de \emph{tours de Rokhlin}. Sur cet espace de probabilités, on considérera $\Delta^{(r)}$ en tant que variable aléatoire. On énoncera alors quelques propriétés vérifiées par $\Delta^{(r)}$. En particulier, on donnera un énoncé de type TCL avec vitesse de convergence généralisant un résultat de Emme et Hubert et pouvant être comparés à un résultat de Spiegelhofer et Wallner.

  14:30 - 15:30 Amphi C001

• Jeudi 25 janvier 2024

  Léo Vivion (ULCO - LMPA)

  Sur un problème de coloration des entiers (⊕ résumé)

  Dans cet exposé, on présentera un problème de théorie élémentaire des nombres à la Erdös, remontant aux années 70 et toujours ouvert à ce jour, pour lequel d'importants progrès ont été obtenus par la combinatoire des mots au début des années 2000.

  14:30 - 15:30 C101

• Jeudi 18 janvier 2024

  Colin Petitjean (LAMA Université Gustave Eiffel)

  Introduction aux espaces Lipschitz-libres (⊕ résumé)

  Étant donné un espace métrique (M,d), l'espace Lipschitz-libre F(M) est un espace de Banach (espace vectoriel normé complet) tel que :

  (i) F(M) est 'construit autour de M', i.e. F(M) contient M (isométriquement);

  (ii) Toute application lipschitzienne de M dans un Banach X peut être prolongée de manière canonique en une application linéaire continue de F(M) dans X.

  Nous détaillerons l'une des constructions possibles de cet espace libre, puis nous donnerons quelques propriétés de bases. Enfin, après avoir motivé l'étude de tels espaces, nous présenterons divers programmes de recherche et diverses questions ouvertes dans ce domaine.

  14:30 - 15:30 C101

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