Soutenance de thèse de Manon Ryckebusch

Date : 16 décembre 2024 à 14h00

Salle B014 et visio Zoom

Résumé : De nouvelles approches combinatoires à la résolution d’équations différentielles ordinaires ont vu naître un produit entre fonctions $f$ et $g$ de deux temps appelé $\star$ produit. Ce même produit resurgit régulièrement en physique et en analyse numérique où il est utilisé sans réelle formalisation. L’objectif de cette thèse est de fournir les fondements mathématiques rigoureux qui justifient les diverses applications du $\star$ produit. Dans ces travaux nous déterminons l’ensemble des fonctions $f$ et $g$ pour lesquelles le $\star$ produit est bien défini. En outre, nous identifions un ensemble $D$ contenant des objets venus de la théorie des distributions sur lequel le $\star$ produit est également bien défini, puis exhibons les structures algébriques associées. En particulier nous montrons que les éléments de $D$ qui sont $\star$ inversibles forment un sous ensemble dense de $D$ et constituent un groupe de Fréchet-Lie. Nous présentons également en détail la manière dont le $\star$ produit intervient dans la résolution des équations différentielles ordinaires, notamment non-autonomes, ainsi que son utilisation en tandem de la méthode combinatoire qui l’a vu naître : la méthode dite de path-sum, complétant ainsi l’étude et les applications de cette approche dans le cadre différentiel. Dans sa version ‘classique’, path-sum repose sur une re-sommation de chemins sur les graphes pour calculer des fonctions analytiques de matrices, telles que les inverses ou les exponentielles. Les solutions de systèmes d’équations linéaires non autonomes peuvent être exprimées à l’aide de $\star$ produits et de $\star$ inverses, eux-mêmes calculables grâce à path sum. Le $\star$ produit constitue ainsi un véritable pont entre graphes et calcul différentiel.