Problème de moments avec applications et estimations du spectre discret des opérateurs définis par des matrices infinies non bornées

• Préparée par Ayoub Harrat
• En cotutelle avec le Maroc
• Commencée en janvier 2016 et soutenue le 17 décembre 2020.
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Sujet

Dans cette thèse on donne d'abord une solution concrète pour presque tous les scénarios qu'on peut avoir dans le problème de moments complexe quintique et en particulier dans le cas d'une mesure à support minimal. On présente aussi de nombreux exemples pour illustrer chaque cas. La seconde partie présente une approche qui permet de passer du problème de moments tronqué au problème complet à l'aide des idempotents. Il s'agit d'une approche très différente de celle utilisée dans la première partie.Plus précisément, au lieu d'appliquer les méthodes de R. Curto et L. Fialkow où l'objet central est la matrice de moments, on utilise l'approche de F. Vasilescu dont l'objet central est la fonctionnelle de Riesz. Cette fonctionnelle fait associer à chaque monôme tᵅ la valeur γ∝ et elle satisfait trois conditions naturelles dans le cas où la suite (γ∝)∝∈ℕᵈ est donnée par les intégrales de tᵅ par rapport à une mesure. La troisième partie est consacrée à l'asymptotique du spectre pour une classe de matrices hermitiennes tridiagonales infinies. Le but est d'obtenir le comportement asymptotique précis des valeurs propres y associées à partir du comportement asymptotique de ces coefficients. Le résultat est obtenu par une approche nouvelle qui est une adaptation de la théorie de perturbations de Schrieffer-Wolff utilisée en physique de la matière condensée. Cette méthode marche également pour des matrices 'bande', mais le cas des matrices tridiagonales est le plus important pour des applications et encore les expressions explicites des premières corrections dans la formule asymptotique sont plus simples pour les matrices tridiagonales.