L.M.P.A
Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées
Joseph Liouville

Algèbre multilinéaire appliquée à la restauration et reconnaissance d'images

Sujet

Les tenseurs sont des tableaux multidimensionnels. Ils sont une généralisation des matrices et des vecteurs. Ils fournissent un moyen naturel de représenter les données dans différents domaines, ce qui fait le domaine tensoriel un cadre idéal pour formuler et résoudre de nombreux problèmes dans différents domaines. L'une des applications les plus importantes des tenseurs se trouve dans le domaine du traitement des images, comme la restauration d'images et la reconnaissance des visages, où les images couleur (images RGB) sont présentées comme des tenseurs d'ordre 3 et une vidéo composée d'images couleur est un tenseur d'ordre 4. Mais lorsque nous travaillons dans des espaces de dimension supérieure pour résoudre des problèmes d'ordre supérieur, un ensemble de défis se pose, comme un problème connu sous le nom de "the curse of dimensionality". En effet, lorsque la dimension augmente, les problèmes d'ordre supérieur deviennent plus difficiles (besoin en calcul et en mémoire) car la taille des données d'un tenseur augmente exponentiellement avec l'augmentation de la dimensionnalité du tenseur. Par conséquent, les calculs tensoriels deviennent très coûteux. Dans cette thèse, nous nous sommes concentrés sur la résolution de certains problèmes tensoriels. Les algorithmes proposés sont obtenus en combinant des méthodes itératives telles que la méthode LSQR et des décompositions d'ordre supérieur pour surmonter le problème de la dimensionnalité. Les approches que nous proposons sont appliquées à la restauration d'images et de vidéos. De plus, cette thèse étudie les méthodes de reconnaissance des visages basées sur le format tensoriel, où des outils d'algèbre multi-linéaire tels que la HOSVD (Higher- Order Singular Value Decomposition) ont été utilisés. Nous proposons un nouvel algorithme qui peut être appliqué à une base de données d'images représentées par un tenseur d'ordre 3 ou 4. tenseur de troisième ou quatrième ordre.

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