Contrôle d'équations aux dérivées partielles hyperboliques par méthodes directes

• Préparée par Romain Loyer
• Commencée en septembre 2020 et soutenue le 12 décembre 2023.

Sujet

Cette thèse a pour objet l’étude de la contrôlabilité à zéro de certaines équations aux dérivées partielles par des méthodes directes. On s’est intéressé dans un premier temps à une équation de la chaleur dégénérée en guise de travail introductif au problème de contrôlabilité. Pour cela, on a utilisé la méthode de la platitude, une méthode directe et constructive. Ensuite, on s’est focalisé sur la contrôlabilité à zéro d’équations hyperboliques, et plus particulièrement de l’équation des ondes. Un travail indépendant a été effectué sur l’analyse de problèmes aux limites hyperboliques faiblement bien posés pour lequel on a "achevé" l’étude de ces équations en se concentrant sur le cas de la dégénérescence de la condition de Kreiss-Lopatinskiiuniforme en zone glancing. Ensuite, on s’est intéressé à l’étude de la contrôlabilité de l’équation des ondes en dimensions un et trois d’espace, le but étant de développer des méthodes de contrôle numérique pour ces équations. On développe des méthodes robustes pour approcher le contrôle. En dimension un, on a opté pour une approche basée sur la méthode backstepping qui fournit la stabilisation en temps fini et en dimension trois, on a établi un principe d’Huygens couplé avec la méthode d’extension du domaine.