Nombres de Schur classiques et faibles

• Préparée par Fanasina Alinirina Rafilipojaona
• Commencée en septembre 2011 et soutenue le 10 juillet 2015.
• Accès à la thèse complète

Sujet

Le thème central de cette thèse porte sur des partitions en $n$ parties de l’intervalle entier $[1, N] =\{1,2,\ldots , N\}$ excluant la présence, dans chaque partie, de solutions de l’équation $x+y=z$ dans le cas classique, ou seulement de telles solutions avec $x\not=y$ dans le cas faible. Pour $n$ donné, le plus grand $N$ admissible dans le cas classique se note $S(n)$ et s’appelle le $n$-ème nombre de Schur; dans le cas faible, ilse note $WS(n)$ et s’appelle le $n$-ème nombre de Schur faible. Bien qu’introduits il y a plusieurs décennies déjà, et même il y a un siècle dans le cas classique, on ne sait encore que très peu de choses au sujet de ces nombres. En particulier, $S(n)$ et $WS(n)$ ne sont exactement connus que pour $n\leq4$. Cette thèse est composée de deux chapitres : le premier revisite des encadrements connus sur les nombres de Schur classiques et faibles, et le second est consacré à la construction de nouveaux minorants des nombres de Schur faibles $WS(n)$ pour $n= 7,8$ et $9$. Nous introduisons, dans le premier chapitre, les ensembles $t$-libres de sommes, $t\in\mathbb{N}$, dont l’utilisation permet de généraliser et d’unifier diverses démonstrations de majorants des $S(n)$ et $WS(n)$. Nous obtenons également une relation entre $WS(n+1)$ et $WS(n)$. Dans le deuxième chapitre, nous initions l’étude de certaines partitions hautement structurées présentant un potentiel intéressant pour le problème de minorer lesnombres $WS(n)$. Effectivement, avec des algorithmes de recherche ne portant que sur ces partitions, nous retrouvons les meilleurs minorants connus sur $WS(n)$ pour $1\leq n\leq 6$, et nous améliorons significativement ceux pour $7\leq n \leq 9$.