Séminaire équipe ADA
Le séminaire de l'équipe Algèbre, Dynamique et Arithmétique à lieu en principe les jeudis à 14h30.
Responsables : Nathan Chapelier, Pierre-Louis Giscard et Ilia Smilga
Liste des exposés de 2025
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Jeudi 18 décembre 2025
Les fonctions multizétas dendriformes et tridendriformes
(⊕ résumé) Dans le but d’étudier la fonction zéta de Riemann, L.Euler a introduit en 1775 les fonctions
multizétas (MZV) comme une généralisation à plusieurs variables de cette dernière. Depuis, ces
fonctions interviennent dans divers domaines des mathématiques allant de la géométrie arithmétique à la théorie des nombres en passant par la théorie quantique des champs. L’étude de ces objets peut se faire suivant des angles divers et variés comprenant l’analyse complexe, l’intégration motivique ou d’autres techniques plus algébriques.
Un des objectifs majeurs au sujet des MZV est de trouver la dimension de l’espace vectoriel rationnel généré par les MZV de mots de même poids. Hoffman conjectura dans les années 90 que les MZV vérifient seulement certaines relations bien précises dont celle du shuffle des mots.
Après un parcours historique et introductif au monde des fonctions multizétas, nous nous
intéresserons à une étude utilisant une technique algébrique en utilisant l’algèbre tridendriforme
et dendriforme libre. Nous retrouverons une généralisation des MZV définies sur des arbres
initialement introduite par J.Ecalle en 1981. Nous verrons que cette construction est toujours un
morphisme d’algèbres pour le shuffle des arbres. Cette approche donne de nouvelles perspectives
pour étudier ce problème en utilisant un point de vue purement algébrique.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 11 décembre 2025
$q$-déformation de coefficients binomiaux de mots
(⊕ résumé) En mathématiques, une $q$-déformation ou un $q$-analogue d'un objet (un théorème, une fonction, une égalité, etc.) est une généralisation de ce dernier qui implique un nouveau paramètre $q$, et qui doit être telle que l’on retrouve l'objet original en laissant $q$ tendre vers 1. D'un autre côté, les coefficients binomiaux de mots sont largement étudiés en combinatoire des mots : étant donnés deux mots finis $u$ et $v$, le coefficient « $v$ parmi $u$ » compte le nombre d'occurrences de $v$ en tant que sous-suite de $u$. Dans cet exposé, nous présenterons une $q$-déformation des coefficients binomiaux de mots. Après avoir investigué son interprétation combinatoire, nous nous concentrerons sur deux applications de ces coefficients $q$-déformés : une caractérisation des langages $p$-groupes et une $q$-déformation des matrices de Parikh. Ce travail de recherche a été réalisé avec Michel Rigo et Markus A. Whiteland.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 27 novembre 2025
Le centre des algèbres de Brauer murées
(⊕ résumé) En 2015, Jung et Kim ont introduit une famille d'éléments commutants dans l'algèbre de Brauer murée $Br_{r,s}(\delta)$, appelés \emph{éléments de Jucys-Murphy}. Comme dans le cas des groupes symétriques, les polynômes supersymétriques en ces éléments appartiennent au centre de l'algèbre. Ils ont démontré que, lorsque l'algèbre est semi-simple, ces polynômes engendrent son centre, et ont conjecturé qu'il en est de même dans le cas non semi-simple. Dans cet exposé, nous présentons une méthode générale pour calculer le centre de l'algèbre de Brauer murée, qui s'applique aussi bien dans le cadre semi-simple que non semi-simple. Cette approche nous permet notamment de démontrer la conjecture précitée dans le cas particulier de $Br_{r,1}(\delta)$. Travail en collaboration avec Maud de Visser, Alison Parker, Sarah Salmon et Urlica Wilson.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 20 novembre 2025
Déformations quantiques de rationnels, en combinatoire et au-delà
(⊕ résumé) Les $q$-analogues de nombres sont issus d'une déformation des nombres entiers qui consiste à introduire une variable formelle $q$, en remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu'on retrouve le nombre initial en faisant tendre $q$ vers $1$. Cette idée sous-tend par exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour aborder des problèmes combinatoires. Une bonne déformation doit ainsi respecter les propriétés structurelles de l'objet déformé. Par exemple, les coefficients binomiaux quantiques introduits par Gauss satisfont une identité de Pascal déformée.
En 2020, Sophie Morier-Genoud et Valentin Ovsienko ont proposé une q-déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière satisfaisante les propriétés combinatoires des $q$-entiers. On verra comment définir ces $q$-rationnels, en donnant trois points de vue équivalents sur cette construction, via des fractions continues, via le graphe de Farey et via une action du groupe modulaire. Ce dernier point de vue permettra de définir une version jumelle des $q$-rationnels, appelée version gauche. On expliquera comment passer d'une version à l'autre en faisant agir une extension du groupe modulaire. On exposera ensuite une interprétation combinatoire des rationnels quantiques en termes de posets, ce qui fera le lien avec les algèbres amassées de type $A$.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 13 novembre 2025
Des aspects algébriques et topologiques des groupes d’Artin virtuels
(⊕ résumé) Les groupes d’Artin virtuels ont été introduits il y a quelques années par Bellingeri, Paris et Thiel dans le but de généraliser la structure bien étudiée des tresses virtuelles à l’ensemble des groupes d’Artin. Dans cet exposé, nous présenterons deux points de vue possibles pour l’étude de ces groupes : l’un algébrique et l’autre topologique. Du point de vue algébrique et théorique des groupes, nous examinerons la rigidité de ces groupes, en abordant notamment la question de savoir s’ils peuvent être décomposés en un produit direct de deux sous-groupes propres. La réponse à cette question apporte des éclaircissements intéressants sur les groupes d’automorphismes de ces structures. De plus, nous évoquerons brièvement certains aspects topologiques de ces groupes fascinants. En particulier, nous explorerons la construction des espaces $K(π,1)$ pour certains sous-groupes de groupes d’Artin virtuels, en les reliant à une conjecture célèbre ainsi qu’à des constructions déjà existantes.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 6 novembre 2025
Asymptotiques des motifs consécutifs dans les permutations et les couplages parfaits
(⊕ résumé) La première partie de cet exposé est consacrée aux motifs consécutifs
dans les permutations. Nous nous concentrons sur les motifs très serrés
(également connus sous le nom de motifs de Hertzsprung) où les entrées
consécutives de la permutation apparaissent dans des positions
consécutives. Nous commençons par rappeler les résultats énumératifs de
Myers et Claesson, puis nous passons aux asymptotiques que nous avons
trouvées en utilisant l’approche de Borinsky. Par ailleurs, nous
établissons le développement complet de l’asymptotique des permutations
auto-chevauchants qui jouent un rôle important dans l’étude des motifs
consécutifs dans les permutations.
Dans la deuxième partie, nous étudions le comportement des motifs dits
collex (collés aux extrémités) dans les couplages parfaits. Cette
recherche a été motivée par l’étude des structures secondaires d’ARN
avec des pseudo-nœuds autorisés. Par couplage parfait de taille $n$, nous
entendons une configuration de $2n$ points sur une ligne ; ces points sont
consécutivement étiquetés avec des entiers de $1$ à $2n$ et connectés en
paires disjointes par n arêtes. Un motif collex de taille $p$ est
constitué de $p$ arêtes, de sorte que l’ensemble des points de départ est
un intervalle, ainsi que l’ensemble des points d’arrivée. Dans le cas de
$p = 2$, nous montrons que la fonction génératrice exponentielle bivariée
correspondante a une forme exacte fermée. Cela nous permet d’obtenir le
comportement asymptotique par des moyens simples. Dans le cas général,
pour obtenir les résultats énumératifs, nous appliquons la méthode des
clusters de Goulden et Jackson, tandis que les asymptotiques proviennent
de l’approche de Borinsky.
Si le temps le permet, nous discutons également de la distribution
conjointe des motifs et des asymptotiques correspondantes.
Cet exposé est basé sur le travail en cours avec Sergey Kirgizov.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 23 octobre 2025
Tous les treillis distributifs entre l'ordre faible et l'ordre de Bruhat
(⊕ résumé) L'ordre faible et l'ordre de Bruhat sont des posets bien connus sur les permutations, l'ordre faible étant un treillis qui est raffiné par l'ordre de Bruhat. Récemment un nouveau treillis distributif sur les permutations appelé middle order a été décrit par Bouvel, Ferrari et Tenner, et ce treillis raffine l'ordre faible et est raffiné par l'ordre de Bruhat.
On peut généraliser ce résultat en construisant $C_{n-1}$ treillis distributifs sur les permutations de longueur n avec cette même propriété. Nous montrons ensuite que ce sont les seuls treillis distributifs entre l'ordre faible et l'ordre de Bruhat. Nous généralisons également les middle orders aux autres groupes de Coxeter.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 16 octobre 2025
Equation de Yang-Baxter : combinatoire, algèbre et théorie de Garside
(⊕ résumé) L'équation de Yang-Baxter trouve ses origines dans la physique. En 1992, Drinfeld a proposé d'étudier les solutions ensemblistes de cette équation. Ces solutions s'avèrent être une source de structures variées et riches. Dans cet exposé, nous ferons une introduction aux aspects combinatoires et algébriques de ces solutions. Nous nous intéresserons notamment aux parallèles avec les groupes d'Artin-Tits de type sphérique en tant que groupes de Garside. Nous terminerons sur un résultat mettant en avant l'utilité de l'approche Garside pour simplifier la classification des solutions ensemblistes.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 9 octobre 2025
Youssef Fares (Université d'Amiens, LAMFA)
Autour de la conjecture de Poonen sur les polynômes quadratiques
(⊕ résumé) Soit $c$ un nombre rationnel. Considérons le polynôme quadratique
$\phi_c(X) = X^2 - c$. On s'intéresse aux cycles de $\phi_c$ dans $\mathbb{Q}$. Plus précisément,
on s'intéresse à l'une des conjectures de Poonen datant de 1991 selon laquelle
tout cycle de $\phi_c$ dans $\mathbb{Q}$ admet une longueur au plus égale à 3.
Dans notre exposé, on discutera de cette conjecture et on rappellera les résultats connus.
Ensuite, on utilisera des moyens arithmétiques, combinatoires et analytiques
simples pour étudier des cas particuliers de ce problème, dont le cas $s = 3$,
où $s$ est le nombre de diviseurs premiers du dénominateur de $c$.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 2 octobre 2025
Action du groupe de Weyl sur l’espace des vecteurs MA-invariants
(⊕ résumé) Soit $G$ un groupe de Lie réel semisimple, $A$ son sous-espace de Cartan
ou tore déployé maximal (sous-algèbre abélienne diagonalisable sur les
réels maximale). On peut alors définir son groupe de Weyl restreint $W$,
comme le quotient du normalisateur de $A$ par son centralisateur. (Je
donnerai des exemples concrets).
Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension
finie rho de ce groupe (agissant sur un espace $V$). Alors $W$ a une action
bien définie sur le sous-espace $V^L$ formé par les vecteurs de $V$ fixés
par le normalisateur de $A$, appelé $MA$ ou $L$. Dans le groupe de Weyl
(restreint), un rôle spécial est joué par le mot le plus long $w_0$, qui
envoie les racines (restreintes) positives sur les racines (restreintes)
négatives. Nous nous posons la question suivante : dans quels cas ce $w_0$
a-t-il une action non triviale sur $V^L$ ? (Cette question est motivée par
une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)
Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont
les représentations pour lesquelles, déjà, $V^L$ est non trivial ? et
puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, $w_0$ agit
non-trivialement sur $V^L$ ? Dans le cas particulier où $G$ est déployé, la
première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à la
deuxième, qui est : presque toutes. Dans le cas général, j’ai
récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.
14:00 - 15:00 Salle C115
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Vendredi 27 juin 2025
Lily Bétaz, Martin Chevalier, Basile Fusil (Stage de seconde, lycées de Calais)
Plus grand diviseur commun de certaines familles de nombres construites autour des nombres premiers
14:00 - 14:30 C115
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Jeudi 19 juin 2025
Maël Dolley (ENS Paris Saclay / LMPA)
Soutenance de mémoire de M2 : Biais important pour le nombre de diviseurs premiers.
(⊕ résumé) Depuis les observations de Chebyshev, et l'article de Rubinstein et Sarnak en 1994, on s'intéresse à la répartition des nombres premiers dans les classes de congruence. En particulier, on sait qu'il y a en général plus de nombres premiers de la forme $4n+3$ que de la forme $4n+1$, mais qu'il existe une infinité d'inversions. On s'intéresse ici aux fonctions nombre de diviseurs premiers de la forme $4n+3$ et de la forme $4n+1$, et on montre qu'il existe dans ce cas un biais important. Ensuite, on essaie de caractériser plus précisément la répartition des valeurs de l'écart entre ces deux fonctions.
14:30 - 15:30 C115
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Jeudi 12 juin 2025
Quantum walks have been defined and analyzed for about three decades, since the work of Ambainis, Kempe, Aharonov, etc. Interest in this model peaked when they were not only shown to be useful in quantum algorithms, but also to be universal for quantum computation
(Childs, 2009, Lovett et al., 2010). Besides being useful in Quantum Computer Science, they are objects deserving mathematical attention in their own right.
In my talk I will introduce necessary concepts and notation (from Physics) as needed, starting with the simple one-dimensional “Hadamard” walk. I will cover two classes of walks in detail: (1) alternating walks and (2) walks with memory (or history). In each case I will point out properties of interest - asymptotic probability distribution, localization, dependencies on the initial state and the Unitary matrix we use for “coin flip”, similarities and dissimilarities with corresponding classical random walks, etc. In the case of (1) I will show how we can use fewer physical resources to walk in higher dimensional lattices, while in (2) I will show how this leads to walking on the line graph of the original graph.
14:00 - 15:00 C115
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Jeudi 5 juin 2025
Application of Convolution of Distributions to Models of Linear Media with Fractional Dynamics
(⊕ résumé) One way to model a linear medium with fractional dynamics
is to define its relaxation function as the solution
of a fractional initial value problem.
In this framework, it is necessary to work with
linear combinations of Caputo- and Riemann-Liouville-derivatives
in order to obtain models that fit well to broadband spectroscopy data
from glass forming materials, such as glycerol.
Mixing operators with different treatment
of the initial behaviour of functions
is an unusual approach in mathematical modelling
and complicated to interpret in a consistent way.
Therefore, these models are reconsidered mathematically
as convolution equations on the whole real axis,
while fractional derivatives are interpreted as convolution operators.
In order to obtain satisfying results a generalized notion
of convolution of distributions was utilized.
Despite that fact, that this notion can be found already
in a note by Laurent Schwartz from 1954,
it was applied to fractional derivatives only recently.
The presentation will start with an introduction
to convolution of distributions and its application
to fractional integrals and derivatives.
Cumbersome explanations of mathematical technicalities
and general abstract constructions will be omitted
in the favour of a concise description
that is sufficient for the concrete application.
14:00 - 15:00 C115
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Jeudi 5 juin 2025
Pour que la question ait un sens, il faut se restreindre à des sous-ensembles appropriés — par exemple compacts — de matrices carrées d’ordre $n$ donné. Prenons donc les matrices à coefficients dans l’intervalle réel $I=[-1,1]$, et reformulons la question : connaît-on la valeur maximale atteinte par le déterminant sur $M_n(I)$ ?
Jacques Hadamard a donné une borne en 1893 : $|\det(A)| \leq n^{n/2}$ pour tout $A \in M_n(I)$. Cette borne est-elle parfois atteinte ? Si oui, pour quels $n$ et par quelles matrices ? Si non, par quoi la remplacer ?
Cet exposé donnera quelques réponses, de jolis liens avec l’algèbre, la combinatoire et la théorie des nombres, un vieux record du LMPA, et divers problèmes ouverts engendrés par l’innocente question du titre
11:00 - 12:00 Séminaire commun ADA + EMA, Salle B014
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Jeudi 22 mai 2025
Rational functions in quantum computing
(⊕ résumé) In classical computing, rational functions form an essential tool for developing effective algorithms for solving interior eigenvalue problems and approximating matrix functions.
In quantum computing, the use of rational functions is underexplored. In this talk we explore a new technique for working with rational functions on a quantum computer. This technique is thus a proposal for the main building block of quantum rational algorithms and is based on real-time evolutions. We provide a detailed computational cost analysis that is essential for further development of quantum rational algorithms.
Preprint: https://arxiv.org/abs/2408.07742
13:30 - 14:30 B014 + Zoom. Séminaire joint ADA - EMA
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Jeudi 3 avril 2025
Characterization of extreme cases of Chebyshev's bias in number fields
(⊕ résumé) Chebyshev’s bias describes the tendency of prime numbers to favor certain residue classes over others. In this talk, we will present recent developments on Chebyshev’s bias in number fields, starting from results of Fiorilli and Jouve, who established that, unlike in $\mathbb{Q}$, extreme biases can occur unconditionally in certain number fields. We will then discuss our work, in which we extend their unconditional results and construct new instances of explicit Galois extensions with extreme Chebyshev's bias.
Building on this, we will present our latest results, where under the assumptions of the Generalized Riemann Hypothesis, the Artin Conjecture, and a Linear Independence hypothesis on Artin $L$-function zeros, we establish a full characterization of when such extreme biases appear. This characterization leads to a natural trichotomy: either prime biases disappear, remain in the classical range, or become completely one-sided.
14:30 - 15:30 C115
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Jeudi 13 mars 2025
Quelques extensions algébriques de notions et résultats en théorie additive des nombres
(⊕ résumé) Le but de l'exposé sera de montrer comment des résultats et des
techniques issus de la théorie additive des nombres s'étendent
naturellement à d'autres contextes algébriques (extensions de corps,
algèbres, actions de groupes notamment). Ces extensions permettent de
retrouver le plus souvent les théorèmes originaux qui les ont inspirées
tout en leur donnant un éclairage nouveau et en proposant des
applications à d'autres domaines mathématiques comme la théorie des
représentations ou la théorie des codes correcteurs.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 6 mars 2025
The Hardy-Littlewood generalised twin prime conjecture states an asymptotic formula for the number of primes $p\le X$ such that $p+h$ is prime, where $h$ is any non-zero even integer. While this conjecture remains wide open, Matomäki, Radziwiłł and Tao proved that it holds on average over $h$, improving on a previous result of Mikawa. In this talk we will discuss an almost prime analogue of the Hardy-Littlewood conjecture for which we can go beyond what is known for primes. We will describe some recent work in which we prove an asymptotic formula for the number of almost primes $n=p_1p_2 \le X$ such that $n+h$ has exactly two prime factors which holds for a very short average over $h$.
13:00 - 14:00 C115
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Jeudi 27 février 2025
L’étude des coeurs, c’est-à-dire les partitions d’entiers sans crochet de taille donnée, a révélé
des relations remarquables entre la théorie des représentations, la combinatoire énumérative, et
la théorie des nombres. Dans cet exposé, j’expliquerai comment relier les partitions coeurs aux
solutions de certaines équations diophantiennes, sur lesquelles agira un groupe adapté.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 13 février 2025
Triangulations équivariantes des tores des groupes de Lie et tores hyperboliques pour les groupes de Coxeter non cristallographiques
(⊕ résumé) Dans cet exposé, je présenterai quelques résultats sur la
topologie des tores maximaux des groupes de Lie compacts, équivariante
pour l'action du groupe de Weyl W, ainsi que quelques généralisations.
Plus précisément, je commencerai dans un premier temps par expliquer
comment la combinatoire des alcôves et du groupe de Weyl affine
permettent de produire une triangulation W-équivariante du tore
correspondant, dans le cas particulier où le groupe de Lie ambiant est
simplement connexe. Pour un groupe de Lie plus général, le groupe
fondamental du système de racine entre en jeu et nous force à subdiviser
davantage les alcôves. Je montrerai alors comment produire un domaine
fondamental à l'intérieur de l'alcôve (résultat dû à Komrakov et Premet,
1984), pourquoi ce domaine naturel est en fait inadapté à la
construction de triangulations équivariantes et comment contourner le
problème. Si le temps le permet, j'exposerai également un résultat
nouveau (obtenu en collaboration avec L. Seco et K-H. Neeb) fournissant
un domaine fondamental pour le groupe de toutes les isométries affines
de l'alcôve, donc plus fin que celui de Komrakov--Premet.
Dans un second temps, inspiré par le cas simplement connexe et sa
combinatoire, je montrerai comment on peut, pour un groupe de Coxeter
fini quelconque, définir une variété jouant le rôle d'un tore (plutôt :
régi par une combinatoire similaire à celle des tores classiques), qui
sera hyperbolique si le groupe n'est pas cristallographique. Dans le cas
des groupes diédraux par exemple, nous obtenons des surfaces de Riemann
arithmétiques, qui sont des courbes elliptiques rationnelles si le
groupe est de Weyl.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 6 février 2025
Éléments Grassmanniens affines, identités de Macdonald et formules d'équerre
(⊕ résumé) La formule de Nekrasov--Okounkov donne une expression des coefficients de Fourier de puissances de la fonction d'Euler comme une somme de produits de longueurs d'équerre. L'objectif de cet exposé est de montrer comment cette formule peut s'obtenir à partir d'une spécialisation de l'identité de Macdonald, aussi appelée dénominateur de Weyl--Kac. Pour ce faire, j'expliciterai la réécriture de l'identité de Macdonald en type A comme une somme sur les éléments Grassmanniens affines qui fait intervenir la longueur atomique introduite par Chapelier-Laget et Gerber. Enfin je montrerai comment ces réécritures peuvent se traduire dans le langage des partitions d'entiers et ainsi obtenir des formules d'équerre. Ceci est un travail en commun avec Cédric Lecouvey.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 30 janvier 2025
Sur une famille de coniques à coefficients polynomiaux ayant un point rationnel
(⊕ résumé) Dans les années 90, Serre a initié un programme de recherche autour de la probabilité qu'une équation choisie aléatoirement au sein d'une famille possède une solution rationnelle. Par exemple, il démontra que 0% des coniques diagonales possèdent un point rationnel. Très peu de familles ont été étudiées à ce jour, bien qu'une conjecture due à Loughran--Smeets prédise un équivalent asymptotique dans certains cas. Je vais expliquer comment, en utilisant la méthode du cercle, on peut démontrer la conjecture de Loughran--Smeets pour la famille, paramétrée par t dans $P^n(Q)$, de coniques d'équation $f_1(t)x_1^2 + f_2(t)x_2^2 = f_3(t) x_3^2$ où les $f_i$ sont des polynômes homogènes à coefficients entiers, tous de même degré et avec beaucoup de variables.
14:30 - 15:30 C116
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Jeudi 9 janvier 2025
Abdelamir Dabbabi (Faculté des sciences de Monastir)
Conditions de chaines dans l’anneau A[X, Y ; λ]
(⊕ résumé) Le résumé est dans le pdf
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