Séminaire équipe ADA
Le séminaire de l'équipe Algèbre, Dynamique et Arithmétique à lieu en principe les jeudis à 14h30.
Responsables : Nathan Chapelier, Pierre-Louis Giscard et Ilia Smilga
Liste des exposés
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Jeudi 30 avril 2026
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Jeudi 9 avril 2026
Shalom Eliahou (Université du Littoral Côte d'Opale)
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 2 avril 2026
Bruno Le Floch (Sorbonne Université, LPTHE)
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 12 mars 2026
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Jeudi 5 mars 2026
Charlotte Roelants (Vrije Universiteit Brussel)
We study Killing forms on finite groups arising from the extension of the theory of Killing forms on Lie algebras to braided-Lie algebras. For braided structures associated with finite groups, these forms admit an expression in terms of the character of the conjugation action on a certain conjugation-stable subset of the group.
Motivated by Cartan’s criterion and earlier work by López Peña, Majid, and Rietsch, we investigate the non-degeneracy and irreducibility of such Killing forms defined on conjugation-stable subsets of finite groups. We will particularly focus on conjugacy classes of involutions and unipotent elements in simple groups of Lie type of rank one. Our methods reveal interesting connections with counting formulas in character theory, commuting graphs and generation of permutation modules.
This talk is based on a preprint in collaboration with Kevin Piterman and recent work with Carsten Dietzel.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 19 février 2026
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Jeudi 12 février 2026
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Jeudi 5 février 2026
Identités du type Andrews-Gordon-Bressoud et mouvement de particules
(⊕ résumé) Les identités de Andrews-Gordon sont parmi les identités de $q$-séries et partitions les plus importantes, apparaissent naturellement dans plusieurs domaines, et généralisent les célèbres identités de Rogers-Ramanujan. Le côté produit de ces identités est clairement la série génératrice de partitions avec conditions de congruence, mais il n'est pas clair du tout à première vue que le côté somme est la série génératrice de partitions avec des conditions de différence. Ce fait a été prouvé initialement par Andrews en utilisant des équations de récurrence, puis bijectivement par Warnaar une vingtaine d'années plus tard en utilisant des mouvements de particules.
Dans cet exposé, nous expliquerons et généraliserons l'approche par mouvement de particules. Nous montrerons qu'elle peut aussi être appliquée au côté somme de l'identité de Bressoud, et qu'en utilisant les identités de Andrews-Gordon et Bressoud comme ingrédients, de nombreuses identités, nouvelles et connues, peuvent être prouvées grâce à cette technique.
Cette présentation est basée sur des travaux en commun avec Jihyeug Jang, Frédéric Jouhet et Isaac Konan.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 15 janvier 2026
Abderrahman Bouhamidi (Séminaire commun avec EMA) (LMPA)
Une extension de la conjecture de Collatz
(⊕ résumé) Dans cet exposé, nous parlerons d’une classe de problèmes de type Collatz associée à des triplets d’entiers faiblement et fortement admissibles. Ce cadre étend l’application classique de Collatz en fournissant une méthode systématique pour générer des triplets dont les trajectoires convergent vers des cycles triviaux.
Nous introduisons plusieurs familles particulières de triplets admissibles et nous proposons une conjecture unifiée qui généralise la conjecture classique de Collatz. Des bornes sur les longueurs des cycles non triviaux potentiels sont dérivées et analysées, et deux algorithmes sont présentés pour le calcul de bornes inférieures sur la longueur des cycles. Enfin, des tests expérimentaux sont fournis afin d’illustrer notre approche.
14:00 - 15:00 C115
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Jeudi 18 décembre 2025
Les fonctions multizétas dendriformes et tridendriformes
(⊕ résumé) Dans le but d’étudier la fonction zéta de Riemann, L.Euler a introduit en 1775 les fonctions
multizétas (MZV) comme une généralisation à plusieurs variables de cette dernière. Depuis, ces
fonctions interviennent dans divers domaines des mathématiques allant de la géométrie arithmétique à la théorie des nombres en passant par la théorie quantique des champs. L’étude de ces objets peut se faire suivant des angles divers et variés comprenant l’analyse complexe, l’intégration motivique ou d’autres techniques plus algébriques.
Un des objectifs majeurs au sujet des MZV est de trouver la dimension de l’espace vectoriel rationnel généré par les MZV de mots de même poids. Hoffman conjectura dans les années 90 que les MZV vérifient seulement certaines relations bien précises dont celle du shuffle des mots.
Après un parcours historique et introductif au monde des fonctions multizétas, nous nous
intéresserons à une étude utilisant une technique algébrique en utilisant l’algèbre tridendriforme
et dendriforme libre. Nous retrouverons une généralisation des MZV définies sur des arbres
initialement introduite par J.Ecalle en 1981. Nous verrons que cette construction est toujours un
morphisme d’algèbres pour le shuffle des arbres. Cette approche donne de nouvelles perspectives
pour étudier ce problème en utilisant un point de vue purement algébrique.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 11 décembre 2025
$q$-déformation de coefficients binomiaux de mots
(⊕ résumé) En mathématiques, une $q$-déformation ou un $q$-analogue d'un objet (un théorème, une fonction, une égalité, etc.) est une généralisation de ce dernier qui implique un nouveau paramètre $q$, et qui doit être telle que l’on retrouve l'objet original en laissant $q$ tendre vers 1. D'un autre côté, les coefficients binomiaux de mots sont largement étudiés en combinatoire des mots : étant donnés deux mots finis $u$ et $v$, le coefficient « $v$ parmi $u$ » compte le nombre d'occurrences de $v$ en tant que sous-suite de $u$. Dans cet exposé, nous présenterons une $q$-déformation des coefficients binomiaux de mots. Après avoir investigué son interprétation combinatoire, nous nous concentrerons sur deux applications de ces coefficients $q$-déformés : une caractérisation des langages $p$-groupes et une $q$-déformation des matrices de Parikh. Ce travail de recherche a été réalisé avec Michel Rigo et Markus A. Whiteland.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 27 novembre 2025
Le centre des algèbres de Brauer murées
(⊕ résumé) En 2015, Jung et Kim ont introduit une famille d'éléments commutants dans l'algèbre de Brauer murée $Br_{r,s}(\delta)$, appelés \emph{éléments de Jucys-Murphy}. Comme dans le cas des groupes symétriques, les polynômes supersymétriques en ces éléments appartiennent au centre de l'algèbre. Ils ont démontré que, lorsque l'algèbre est semi-simple, ces polynômes engendrent son centre, et ont conjecturé qu'il en est de même dans le cas non semi-simple. Dans cet exposé, nous présentons une méthode générale pour calculer le centre de l'algèbre de Brauer murée, qui s'applique aussi bien dans le cadre semi-simple que non semi-simple. Cette approche nous permet notamment de démontrer la conjecture précitée dans le cas particulier de $Br_{r,1}(\delta)$. Travail en collaboration avec Maud de Visser, Alison Parker, Sarah Salmon et Urlica Wilson.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 20 novembre 2025
Déformations quantiques de rationnels, en combinatoire et au-delà
(⊕ résumé) Les $q$-analogues de nombres sont issus d'une déformation des nombres entiers qui consiste à introduire une variable formelle $q$, en remplaçant chaque nombre par un polynôme de telle sorte qu'on retrouve le nombre initial en faisant tendre $q$ vers $1$. Cette idée sous-tend par exemple la notion de série génératrice, déjà utilisée par Euler pour aborder des problèmes combinatoires. Une bonne déformation doit ainsi respecter les propriétés structurelles de l'objet déformé. Par exemple, les coefficients binomiaux quantiques introduits par Gauss satisfont une identité de Pascal déformée.
En 2020, Sophie Morier-Genoud et Valentin Ovsienko ont proposé une q-déformation des nombres rationnels, qui généralise de manière satisfaisante les propriétés combinatoires des $q$-entiers. On verra comment définir ces $q$-rationnels, en donnant trois points de vue équivalents sur cette construction, via des fractions continues, via le graphe de Farey et via une action du groupe modulaire. Ce dernier point de vue permettra de définir une version jumelle des $q$-rationnels, appelée version gauche. On expliquera comment passer d'une version à l'autre en faisant agir une extension du groupe modulaire. On exposera ensuite une interprétation combinatoire des rationnels quantiques en termes de posets, ce qui fera le lien avec les algèbres amassées de type $A$.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 13 novembre 2025
Des aspects algébriques et topologiques des groupes d’Artin virtuels
(⊕ résumé) Les groupes d’Artin virtuels ont été introduits il y a quelques années par Bellingeri, Paris et Thiel dans le but de généraliser la structure bien étudiée des tresses virtuelles à l’ensemble des groupes d’Artin. Dans cet exposé, nous présenterons deux points de vue possibles pour l’étude de ces groupes : l’un algébrique et l’autre topologique. Du point de vue algébrique et théorique des groupes, nous examinerons la rigidité de ces groupes, en abordant notamment la question de savoir s’ils peuvent être décomposés en un produit direct de deux sous-groupes propres. La réponse à cette question apporte des éclaircissements intéressants sur les groupes d’automorphismes de ces structures. De plus, nous évoquerons brièvement certains aspects topologiques de ces groupes fascinants. En particulier, nous explorerons la construction des espaces $K(π,1)$ pour certains sous-groupes de groupes d’Artin virtuels, en les reliant à une conjecture célèbre ainsi qu’à des constructions déjà existantes.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 6 novembre 2025
Asymptotiques des motifs consécutifs dans les permutations et les couplages parfaits
(⊕ résumé) La première partie de cet exposé est consacrée aux motifs consécutifs
dans les permutations. Nous nous concentrons sur les motifs très serrés
(également connus sous le nom de motifs de Hertzsprung) où les entrées
consécutives de la permutation apparaissent dans des positions
consécutives. Nous commençons par rappeler les résultats énumératifs de
Myers et Claesson, puis nous passons aux asymptotiques que nous avons
trouvées en utilisant l’approche de Borinsky. Par ailleurs, nous
établissons le développement complet de l’asymptotique des permutations
auto-chevauchants qui jouent un rôle important dans l’étude des motifs
consécutifs dans les permutations.
Dans la deuxième partie, nous étudions le comportement des motifs dits
collex (collés aux extrémités) dans les couplages parfaits. Cette
recherche a été motivée par l’étude des structures secondaires d’ARN
avec des pseudo-nœuds autorisés. Par couplage parfait de taille $n$, nous
entendons une configuration de $2n$ points sur une ligne ; ces points sont
consécutivement étiquetés avec des entiers de $1$ à $2n$ et connectés en
paires disjointes par n arêtes. Un motif collex de taille $p$ est
constitué de $p$ arêtes, de sorte que l’ensemble des points de départ est
un intervalle, ainsi que l’ensemble des points d’arrivée. Dans le cas de
$p = 2$, nous montrons que la fonction génératrice exponentielle bivariée
correspondante a une forme exacte fermée. Cela nous permet d’obtenir le
comportement asymptotique par des moyens simples. Dans le cas général,
pour obtenir les résultats énumératifs, nous appliquons la méthode des
clusters de Goulden et Jackson, tandis que les asymptotiques proviennent
de l’approche de Borinsky.
Si le temps le permet, nous discutons également de la distribution
conjointe des motifs et des asymptotiques correspondantes.
Cet exposé est basé sur le travail en cours avec Sergey Kirgizov.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 23 octobre 2025
Tous les treillis distributifs entre l'ordre faible et l'ordre de Bruhat
(⊕ résumé) L'ordre faible et l'ordre de Bruhat sont des posets bien connus sur les permutations, l'ordre faible étant un treillis qui est raffiné par l'ordre de Bruhat. Récemment un nouveau treillis distributif sur les permutations appelé middle order a été décrit par Bouvel, Ferrari et Tenner, et ce treillis raffine l'ordre faible et est raffiné par l'ordre de Bruhat.
On peut généraliser ce résultat en construisant $C_{n-1}$ treillis distributifs sur les permutations de longueur n avec cette même propriété. Nous montrons ensuite que ce sont les seuls treillis distributifs entre l'ordre faible et l'ordre de Bruhat. Nous généralisons également les middle orders aux autres groupes de Coxeter.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 16 octobre 2025
Equation de Yang-Baxter : combinatoire, algèbre et théorie de Garside
(⊕ résumé) L'équation de Yang-Baxter trouve ses origines dans la physique. En 1992, Drinfeld a proposé d'étudier les solutions ensemblistes de cette équation. Ces solutions s'avèrent être une source de structures variées et riches. Dans cet exposé, nous ferons une introduction aux aspects combinatoires et algébriques de ces solutions. Nous nous intéresserons notamment aux parallèles avec les groupes d'Artin-Tits de type sphérique en tant que groupes de Garside. Nous terminerons sur un résultat mettant en avant l'utilité de l'approche Garside pour simplifier la classification des solutions ensemblistes.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 9 octobre 2025
Youssef Fares (Université d'Amiens, LAMFA)
Autour de la conjecture de Poonen sur les polynômes quadratiques
(⊕ résumé) Soit $c$ un nombre rationnel. Considérons le polynôme quadratique
$\phi_c(X) = X^2 - c$. On s'intéresse aux cycles de $\phi_c$ dans $\mathbb{Q}$. Plus précisément,
on s'intéresse à l'une des conjectures de Poonen datant de 1991 selon laquelle
tout cycle de $\phi_c$ dans $\mathbb{Q}$ admet une longueur au plus égale à 3.
Dans notre exposé, on discutera de cette conjecture et on rappellera les résultats connus.
Ensuite, on utilisera des moyens arithmétiques, combinatoires et analytiques
simples pour étudier des cas particuliers de ce problème, dont le cas $s = 3$,
où $s$ est le nombre de diviseurs premiers du dénominateur de $c$.
14:30 - 15:30 Salle C115
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Jeudi 2 octobre 2025
Action du groupe de Weyl sur l’espace des vecteurs MA-invariants
(⊕ résumé) Soit $G$ un groupe de Lie réel semisimple, $A$ son sous-espace de Cartan
ou tore déployé maximal (sous-algèbre abélienne diagonalisable sur les
réels maximale). On peut alors définir son groupe de Weyl restreint $W$,
comme le quotient du normalisateur de $A$ par son centralisateur. (Je
donnerai des exemples concrets).
Considérons maintenant une représentation irréductible de dimension
finie rho de ce groupe (agissant sur un espace $V$). Alors $W$ a une action
bien définie sur le sous-espace $V^L$ formé par les vecteurs de $V$ fixés
par le normalisateur de $A$, appelé $MA$ ou $L$. Dans le groupe de Weyl
(restreint), un rôle spécial est joué par le mot le plus long $w_0$, qui
envoie les racines (restreintes) positives sur les racines (restreintes)
négatives. Nous nous posons la question suivante : dans quels cas ce $w_0$
a-t-il une action non triviale sur $V^L$ ? (Cette question est motivée par
une certaine question en dynamique des groupes de transformations affines.)
Cette question se décompose naturellement en deux parties : quelles sont
les représentations pour lesquelles, déjà, $V^L$ est non trivial ? et
puis, parmi celles-ci, quelles sont celles où, en plus, $w_0$ agit
non-trivialement sur $V^L$ ? Dans le cas particulier où $G$ est déployé, la
première question est très facile, et nous avons trouvé la réponse à la
deuxième, qui est : presque toutes. Dans le cas général, j’ai
récemment obtenu la réponse à la première question, et pour la deuxième
question je dispose d’une conjecture. Je vais présenter tous ces travaux.
14:00 - 15:00 Salle C115
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