Séminaire équipe ADA
Le séminaire de l'équipe Algèbre, Dynamique et Arithmétique à lieu en principe les jeudis à 15h15.
Responsables : Lucile Devin et Pierre-Louis Giscard
Liste des exposés
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Jeudi 3 février 2022
Courses de polynômes irréductibles dans les corps de fonctions
(⊕ résumé) En 1853, Tchebychev a remarqué que, pour la plupart des réels x ≥ 2, il
y a plus de nombres premiers ≤ x congrus à 3 modulo 4 que de nombres
premiers ≤ x congrus à 1 modulo 4. En général, il a été observé que pour
q entier fixé > 2, si a est un non-résidu quadratique modulo q et b est
un résidu quadratique modulo q alors, pour la plupart des réels x > 2, il y a une prédominance des nombres premiers ≤ x de la forme qn + a par rapport aux nombres premiers ≤ x de la forme qn + b. Ce phénomène, dit biais de Tchebychev, a été prouvé conditionnellement par M. Rubinstein et P. Sarnak. Depuis, plusieurs généralisations ont été étudiées, notamment dans le cas des courses de nombres premiers à plusieurs compétiteurs par Y. Lamzouri. Dans cette présentation, j’exposerai des résultats relatifs à la généralisation des travaux de Y. Lamzouri dans le contexte des anneaux de polynômes sur les corps finis. J’évoquerai également des résultats concernant les courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs. En particulier, je donnerai des exemples de courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs où les densités s’annulent.
14:00 - 15:00 C201
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Jeudi 20 janvier 2022
Alexandre Bailleul (Paris-Saclay)
Quelques facettes des courses de nombres premiers
(⊕ résumé) Les courses de nombres premiers constituent un objet d'étude relativement récent. L'observation de départ de Tchebychev en 1853 était qu'il semblait y avoir toujours plus de nombres premiers congrus à 3 mod 4 que de nombres premiers congrus à 1 mod 4 (bien que leurs quantités sous une borne x soient équivalentes quand x tend vers l'infini). Ce phénomène, appelé biais de Tchebychev, n'a été expliqué pour la première fois qu'en 1994 par Rubinstein et Sarnak. Leur méthode, qui repose sur plusieurs conjectures inaccessibles à l'heure actuelle, a été adaptée à divers contextes (corps de nombres, polynômes irréductibles sur des corps finis, corps de fonctions de courbes sur un corps fini). Dans cet exposé, j'expliquerai cette méthode et je parlerai de résultats récents et de perspectives dans l'étude des courses de nombres premiers dans ces différents contextes.
14:00 - 15:00 C201
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Jeudi 13 janvier 2022
La diagonale ensembliste d’un polytope a le défaut rédhibitoire de ne pas être cellulaire: son image n’est pas une union de cellules. Notre but sera ici de développer une théorie générale, basée sur la méthode introduite par N. Masuda, H. Thomas, A. Tonks et B. Vallette, afin de comprendre et de manipuler les approximations cellulaires de la diagonale d’un polytope quelconque. Cette théorie nous permettra d’attaquer le problème de l’approximation cellulaire de la diagonale des opéraèdres, une famille de polytopes allant des associaèdres aux permutoèdres, et qui code les opérades à homotopie près. Nous obtiendrons ainsi une formule explicite pour le produit tensoriel de deux telles opérades, aux propriétés combinatoires intéressantes.
Référence: https://arxiv.org/abs/2110.14062
15:00 - 16:00 C101
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Jeudi 16 décembre 2021
Why walks lead us astray in the study of graphs
(⊕ résumé) We show that the commonly held assumption that walks can be used to infer properties of digraphs is highly problematic. Since in particular closed walks are describable from combinations of simple cycles, we study the trace monoid formed by these cycles on a digraph under the rule that two such cycles commute if and only if they are vertex disjoint. We show that most graph properties can be lost while maintaining the monoidal structure of cycles and thus cannot be inferred from it, including vertex-transitivity, regularity, planarity, Hamiltonicity, graph spectra, degree distribution and more. Conversely we find that even allowing for multidigraphs, many arrangements of simple cycles are not possible at all. The problem of determining whether a certain arrangement of simple cycles is realizable is highly non-trivial. We show at least that it is decidable and equivalent to the existence of integer solutions to systems of polynomial equations.
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Jeudi 9 décembre 2021
Résultats de type oméga pour les comptages de corps cubiques.
(⊕ résumé) Il s'agit d'un travail en collaboration avec P. Cho, Y. Lee et A.Södergren. Depuis les travaux de Davenport-Heilbronn, beaucoup d'articles ont été écrits donnant des estimations de plus en plus précises sur le comptage du nombre de corps cubiques de discriminant au plus X. Mentionnons par exemple les travaux de Belabas-Bhargava-Pomerance, Bhargava-Shankar-Tsimerman, Taniguchi-Thorne et Bhargava-Taniguchi-Thorne. Dans cet exposé je parlerai d'un résultat négatif, qui montre que l'hypothèse de Riemann implique une limitation sur la plus petite taille possible du terme d'erreur dans ces estimations. Nous approchons la question à partir de la théorie des petits zéros de fonctions $L$, en particulier la philosophie de Katz-Sarnak et les articles subséquents pour la famille des fonctions zeta de Dedekind de corps cubiques. Finalement je parlerai des liens avec la puissante conjecture des ratios de Conrey, Farmer et Zirnbauer.
15:15 - 16:15 C105
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Jeudi 9 septembre 2021
Si A et B sont des ensembles bornés de réels, on définit l’ensemble somme A+B comme l’ensemble des réels qui s’écrivent comme somme d’un élément de A et d’un élément de B. Il est alors bien connu que la taille (ici la mesure de Lebesgue intérieure) de A+B est au moins égale à la somme des tailles de A et de B. Cette première minoration a été améliorée par Ruzsa en 1991 qui donne une minoration en fonction des tailles respectives de A et B, de leur ratio et des diamètres de A et B. Dans cet exposé, nous montrerons comment cette inégalité permet d’obtenir simplement une version continue du théorème 3k-4 de Freiman. Nous décrirons aussi les ensembles pour lesquels l’inégalité de Ruzsa est optimale. Cela nous amènera à décrire les ensembles stable à gauche par addition et nous en évoquerons de possibles applications.
14:00 - 15:00 Zoom
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