Séminaire équipe ADA
Le séminaire de l'équipe Algèbre, Dynamique et Arithmétique à lieu en principe les jeudis à 15h15.
Responsables : Lucile Devin et Pierre-Louis Giscard
Liste des exposés
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Mardi 21 juin 2022
Valeurs polynomiales quartiques avec un grand facteur premier : les cas diédraux et cycliques.
(⊕ résumé) Soit P un polynôme à coefficients entiers, unitaire, irréductible, de degré 4 et de groupe de Galois diédral ou cyclique. Il existe $c=c(P)>0$, tel que $P(n)$ ait un facteur premier supérieur à $n^{1+c}$ pour une proportion positive d'entiers $n$.
Il s'agit d'un travail avec James Maynard.
14:00 - 15:00 C116
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Jeudi 9 juin 2022
A general sieve problem and its analogues in combinatorics
(⊕ résumé) Given an arithmetic function $\theta$, we consider the set of natural numbers
$$\mathcal{B}_\theta = \left\{(n\ge 1: p|n \Rightarrow p\le \theta\left(\prod_{q<p \atop q^\alpha || n} q^\alpha \right) \right\},$$
where $p$ and $q$ denote primes. Depending on the choice of $\theta$, the possible sets $\mathcal{B}_\theta$ include the set of prime powers, almost primes, friable numbers, integers with dense divisors, and practical numbers.
We will discuss asymptotic results for the counting function of $\mathcal{B}_\theta$, for the members of $\mathcal{B}_\theta$ in an arithmetic progression, and for the number of prime factors of $\mathcal{B}_\theta$.
This problem in number theory has natural analogues in combinatorics. We will explore corresponding results regarding set partitions, integer partitions, permutations, and polynomials over finite fields.
14:00 - 15:00
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Jeudi 2 juin 2022
Oscillations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire
(⊕ résumé) Le but de cet exposé est de présenter certains résultats récents concernant la majoration, la minoration et le signe des coefficients de Fourier d'une forme modulaire de poids demi-entier. Ce sujet s'inscrit dans une thématique assez générale qui consiste à mettre en évidence des oscillations et des compensations dans la suite des coefficients d'une forme modulaire. En effet, ce genre de problème est intimement lié à des questions purement arithmétiques et notamment à de nombreux résultats d'équirépartition en théorie des nombres. Ainsi, après avoir fait les rappels nécessaires et afin de motiver au maximum la finalité de mon exposé, j'en profiterai pour présenter certaines de ces applications et j'insisterai particulièrement sur celles découlant du cas particulier des formes modulaires de poids demi-entier.
15:00 - 16:00 C115
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Jeudi 12 mai 2022
Thi Thu Nguyen ( Laboratoire Paul Painlevé - Université de Lille)
Goldbach representation of an integer as the sum of k primes and in arithmetic progression
(⊕ résumé) This talk focuses on the asymptotic Goldbach representations. In 1991, Fujii proved a result for the classical case with error term $O((x\log x)^{4/3})$ and it was improved to the error term $O(x\log^3x)$. Moreover, we also know that an averaged strong form of Goldbach's conjecture is equivalent to the Riemann Hypothesis. We will improve a similar result when trying to write integers as the sum of k primes.
In 2018, G.Bhowmik, K. Halupzok, K. Matsumoto, Y. Suzuki showed the asymptotic Goldbach representations in arithmetic progressions, the error term is $O(x\log^5(qx))$. We will improve with a better error term.
15:00 - 16:00 C115
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Jeudi 28 avril 2022
Monia Mestiri (Laboratoire de Mathématiques de Lens - Université d'Artois)
Dans cet exposé, nous aborderons une notion classique de la dynamique linéaire: l'hypercyclicité. Un opérateur sur un espace de Banach à valeurs dans lui-même est dit hypercyclique s'il possède un vecteur visitant chaque ouvert non-vide. Nous prolongerons l'étude de l'hypercyclicité en nous intéressant aux familles d'opérateurs. Il sera alors question de l'existence de vecteurs hypercycliques pour tous les opérateurs d'une même famille.
14:00 - 15:00 C116
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Jeudi 7 avril 2022
Le critère de Baez-Duarte pour l'hypothèse de Riemann
(⊕ résumé) En 2003, Baez-Duarte a redémontré et précisé le théorème de Nyman grâce à un raisonnement plus proche de la théorie analytique des nombres que ne l'était celui de Nyman. Je présenterai la structure de cette démonstration, et mentionnerai quelques résultats obtenus ultérieurement.
15:00 - 16:00 C115
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Jeudi 31 mars 2022
Le critère de Nyman pour l'hypothèse de Riemann
(⊕ résumé) En 1950, Nyman, élève de Beurling, a énoncé une condition nécessaire et suffisante pour la validité de l'hypothèse de Riemann : la densité dans $L^2(0,1)$ d'un certain sous-espace. Je présenterai le contexte d'analyse fonctionnelle de ce théorème, et évoquerai certains résultats qui lui sont reliés.
15:00 - 16:00 C115
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Jeudi 24 mars 2022
Paramétrisation de certaines structures algébriques
(⊕ résumé) Plusieurs généralisations d'objets classiques (algèbres associatives, dendriformes, pré-Lie, de Rota-Baxter,...) sont apparues dans la littérature ces dernières années. Dans chaque cas, chaque produit est remplacé par une famille de produits indexée par un ensemble ("matching") ou par un semi-groupe ("family"), et chaque axiome est remplacé par une famille d'axiomes semblables de telle sorte que, de façon informelle, la combinatoire sous-jacente aux objets classiques est conservée et enrichie.
Nous allons expliciter une manière d'inclure toute ces généralisations dans un cadre commun. Cela fait apparaître certaines structures algébriques sur l'ensemble utilisé pour la paramétrisation.
Cet exposé est issu d'une série d'articles avec Dominique Manchon, Xiao-Song Peng et Yuanyuan Zhang.
15:00 - 16:00 C115
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Jeudi 17 mars 2022
Courses de polynômes irréductibles dans les corps de fonctions
(⊕ résumé) En 1853, Tchebychev a remarqué que, pour la plupart des réels x ≥ 2, il
y a plus de nombres premiers ≤ x congrus à 3 modulo 4 que de nombres
premiers ≤ x congrus à 1 modulo 4. En général, il a été observé que pour
q entier fixé > 2, si a est un non-résidu quadratique modulo q et b est
un résidu quadratique modulo q alors, pour la plupart des réels x > 2, il y a une prédominance des nombres premiers ≤ x de la forme qn + a par rapport aux nombres premiers ≤ x de la forme qn + b. Ce phénomène, dit biais de Tchebychev, a été prouvé conditionnellement par M. Rubinstein et P. Sarnak. Depuis, plusieurs généralisations ont été étudiées, notamment dans le cas des courses de nombres premiers à plusieurs compétiteurs par Y. Lamzouri. Dans cette présentation, j’exposerai des résultats relatifs à la généralisation des travaux de Y. Lamzouri dans le contexte des anneaux de polynômes sur les corps finis. J’évoquerai également des résultats concernant les courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs. En particulier, je donnerai des exemples de courses de polynômes irréductibles à 2 compétiteurs où les densités s’annulent.
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Jeudi 10 mars 2022
Shalom Eliahou (Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville)
Du théorème de Macaulay à la combinatoire additive
(⊕ résumé) Le théorème de Macaulay en 1927 caractérise complètement les fonctions de Hilbert des algèbres graduées standard. Il est apparu récemment que ce théorème permet de contrôler de façon très fine, voire presque optimale, la croissance des sommes itérées A+…+A d’un ensemble A dans un groupe abélien. Le but de l'exposé est de montrer ce lien tout en expliquant les ingrédients qui le composent. Les applications concerneront principalement le cas où A est un ensemble fini de nombres entiers.
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Jeudi 24 février 2022
Sur une nouvelle classe de variétés compactes non-kählériennes
(⊕ résumé) Dans cet exposé j'expliquerai comment certains corps de nombres totalement réels peuvent être utilisés afin de construire une nouvelle classe de variétés compactes complexes non-kählériennes. Il s'agit d'un résultat obtenu en collaboration avec Karl Oeljeklaus (Marseille).
15:00 - 16:00 C201
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Jeudi 20 janvier 2022
Alexandre Bailleul (Paris-Saclay)
Quelques facettes des courses de nombres premiers
(⊕ résumé) Les courses de nombres premiers constituent un objet d'étude relativement récent. L'observation de départ de Tchebychev en 1853 était qu'il semblait y avoir toujours plus de nombres premiers congrus à 3 mod 4 que de nombres premiers congrus à 1 mod 4 (bien que leurs quantités sous une borne x soient équivalentes quand x tend vers l'infini). Ce phénomène, appelé biais de Tchebychev, n'a été expliqué pour la première fois qu'en 1994 par Rubinstein et Sarnak. Leur méthode, qui repose sur plusieurs conjectures inaccessibles à l'heure actuelle, a été adaptée à divers contextes (corps de nombres, polynômes irréductibles sur des corps finis, corps de fonctions de courbes sur un corps fini). Dans cet exposé, j'expliquerai cette méthode et je parlerai de résultats récents et de perspectives dans l'étude des courses de nombres premiers dans ces différents contextes.
14:00 - 15:00 C201
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Jeudi 13 janvier 2022
La diagonale ensembliste d’un polytope a le défaut rédhibitoire de ne pas être cellulaire: son image n’est pas une union de cellules. Notre but sera ici de développer une théorie générale, basée sur la méthode introduite par N. Masuda, H. Thomas, A. Tonks et B. Vallette, afin de comprendre et de manipuler les approximations cellulaires de la diagonale d’un polytope quelconque. Cette théorie nous permettra d’attaquer le problème de l’approximation cellulaire de la diagonale des opéraèdres, une famille de polytopes allant des associaèdres aux permutoèdres, et qui code les opérades à homotopie près. Nous obtiendrons ainsi une formule explicite pour le produit tensoriel de deux telles opérades, aux propriétés combinatoires intéressantes.
Référence: https://arxiv.org/abs/2110.14062
15:00 - 16:00 C101
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Jeudi 16 décembre 2021
Why walks lead us astray in the study of graphs
(⊕ résumé) We show that the commonly held assumption that walks can be used to infer properties of digraphs is highly problematic. Since in particular closed walks are describable from combinations of simple cycles, we study the trace monoid formed by these cycles on a digraph under the rule that two such cycles commute if and only if they are vertex disjoint. We show that most graph properties can be lost while maintaining the monoidal structure of cycles and thus cannot be inferred from it, including vertex-transitivity, regularity, planarity, Hamiltonicity, graph spectra, degree distribution and more. Conversely we find that even allowing for multidigraphs, many arrangements of simple cycles are not possible at all. The problem of determining whether a certain arrangement of simple cycles is realizable is highly non-trivial. We show at least that it is decidable and equivalent to the existence of integer solutions to systems of polynomial equations.
13:45 - 14:45 C116
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Jeudi 9 décembre 2021
Résultats de type oméga pour les comptages de corps cubiques.
(⊕ résumé) Il s'agit d'un travail en collaboration avec P. Cho, Y. Lee et A.Södergren. Depuis les travaux de Davenport-Heilbronn, beaucoup d'articles ont été écrits donnant des estimations de plus en plus précises sur le comptage du nombre de corps cubiques de discriminant au plus X. Mentionnons par exemple les travaux de Belabas-Bhargava-Pomerance, Bhargava-Shankar-Tsimerman, Taniguchi-Thorne et Bhargava-Taniguchi-Thorne. Dans cet exposé je parlerai d'un résultat négatif, qui montre que l'hypothèse de Riemann implique une limitation sur la plus petite taille possible du terme d'erreur dans ces estimations. Nous approchons la question à partir de la théorie des petits zéros de fonctions $L$, en particulier la philosophie de Katz-Sarnak et les articles subséquents pour la famille des fonctions zeta de Dedekind de corps cubiques. Finalement je parlerai des liens avec la puissante conjecture des ratios de Conrey, Farmer et Zirnbauer.
15:15 - 16:15 C105
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Jeudi 9 septembre 2021
Si A et B sont des ensembles bornés de réels, on définit l’ensemble somme A+B comme l’ensemble des réels qui s’écrivent comme somme d’un élément de A et d’un élément de B. Il est alors bien connu que la taille (ici la mesure de Lebesgue intérieure) de A+B est au moins égale à la somme des tailles de A et de B. Cette première minoration a été améliorée par Ruzsa en 1991 qui donne une minoration en fonction des tailles respectives de A et B, de leur ratio et des diamètres de A et B. Dans cet exposé, nous montrerons comment cette inégalité permet d’obtenir simplement une version continue du théorème 3k-4 de Freiman. Nous décrirons aussi les ensembles pour lesquels l’inégalité de Ruzsa est optimale. Cela nous amènera à décrire les ensembles stable à gauche par addition et nous en évoquerons de possibles applications.
14:00 - 15:00 Zoom
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