Les questions dont je vais parler dans cet exposé portent sur une problématique d'optimisation stochastique inspirée par un contexte financier.
Imaginons un ensemble d'actifs (des actions, des obligations, des devises, des matières premières, …) qu'on peut acheter ou vendre sur un marché. Les valeurs des actifs les uns par rapport aux autres évoluent au cours du temps d'une façon qui est aléatoire, mais dont on connait néanmoins la loi. Une spécificité du problème posé ici (selon une ligne initiée par W. SCHACHERMAYER, de Vienne (AUT)) est que l'achat et la vente ne se font pas au même prix : si j'échange des euros pour des dollars puis que je re-convertis instantanément ces derniers en euros, je ne récupèrerai qu'une fraction de ma richesse initiale… (Cela peut être dû, par exemple, à la présence d'une « taxe Tobin »).
Ce paradigme conduit à des considérations substantiellement différentes du paradigme “classique” où il n'y a pas de frais de transaction. En particulier, l'évolution du cours des actifs les uns par rapport aux autres peut ici exhiber de fortes corrélations à courte échelle (au sens où, en temps continu, ces évolutions ne seront pas des semimartingales : penser p. ex. à un mouvement brownien fractionnaire géométrique) sans que cela ne conduise à des conséquences absurdes (ce qu'on appellerait une « opportunité d'arbitrage » — j'expliquerai rapidement tout cela, bien entendu !) : ce qui ouvre la voie à tout un tas d'idées nouvelles…
Notez que la motivation pour cette étude est avant tout théorique : on ne prétend pas ici modéliser de véritables marchés financiers ! Néanmoins, le fait qu'on ait une vision “physique” de ce qui se passe va permettre d'introduire de nouveaux concepts dont on aura une véritable compréhension intuitive. Un de ces concepts est celui de « prix fantôme », qui permet de lier la recherche d'une stratégie de trading optimal à la résolution d'une équation différentielle stochastique rétrograde.
Parmi les questions auxquelles je m'intéresse actuellement (en collaboration avec L. DINETAN, un mathématicien amateur éclairé de Nice), se pose notamment la question d'être capable de définir une notion d'optimalité qui soit indépendante d'un horizon de temps, ainsi que celle de comprendre le comportement qualitatif du trading optimal lorsque l'évolution des prix est brownienne fractionnaire. Présenter ces problématiques et les résultats partiels que nous avons obtenus dans cette direction sera le but de mon exposé.
